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■部分積分の公式
f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx …(1)
特に
f(x)dx=xf(x)−xf’(x)dx …(2)

• f(x)g’(x)dxが計算しにくく

• f’(x)g(x)dxが上記よりも簡単に計算できるとき

f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−f’(x)g(x)dx …(1)

2×2=4通りの関数の積のうちで
f(x)g(x), f’(x)g(x), f(x)g’(x), f’(x)g’(x),
• 関数の積
f(x)g(x)は積分記号 の外にある
• 関数と微分との積
f’(x)g(x), f(x)g’(x)は積分記号の中にある
• 微分同士の積
f’(x)g’(x)は登場しない.

1.xsinxdx

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=sinxとおく	←g(x)=−cosx ←求まる

f(x)=sinxとおく	→f’(x)=cosx
g’(x)=xとおく	←g(x)=

cosx dx
は，多項式の次数が高くなるため，元の積分よりも一層込み入ったものになる．

2.xexdx

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=exとおく	←g(x)=ex ←求まる

f(x)=exとおく	→f’(x)=ex
g’(x)=xとおく	←g(x)=

ex dx
は，多項式の次数が高くなるため，元の積分よりも一層込み入ったものになる．

3.xlogxdx

f(x)=logxとおく	→f’(x)= ←簡単になる
g’(x)=xとおく	←g(x)= ←求まる

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=log xとおく	←g(x)=??? ←求まらない

4.logxdx　← 公式(2)の例

f(x)=logxとおく	f’(x)= ←簡単になる
g’(x)=1 ←このテクニック を覚える!	g(x)=x

ここまでの要点

(1) xcos2xdx Help

xcos2xdx =x−1·dx
=xsin2x+cos2x+C

(2) xsin2xdx Help

xsin2xdx =x−1·dx
=−xcos2x+sin2x+C

(3) xe2xdx Help

xe2xdx =x−1·dx
=e2x−e2x+C
=(2x−1)e2x+C

(4) xe−2xdx Help

xe−2xdx =x−1·dx
=−e−2x+e−2xdx
=−e−2x−e−2x+C
=−(2x+1)e−2x+C

(5) log(x+1)dx Help

log(x+1)·1dx =log(x+1)·x−·xdx
=xlog(x+1)−(1−)dx
=xlog(x+1)−x+log(x+1)+C
=(x+1)log(x+1)−x+C

(6) x2logxdx Help

logx·x2dx =logx·−·dx
= logx−x2dx
= logx−x3+C

■部分積分の繰り返し
• (多項式と関数の積)
→階段を下りるように多項式を順次微分していく.
(例1.参照) • (求めたい関数が自分自身で表されたら ［同じ式が２回出てきたら］) →未知の積分を=Iとおいて方程式のように解くとよい
(例2.参照)

x2sinxdx

f(x)=x2	→f’(x)=2x ←簡単になる
g’(x)=sinx	←g(x)=−cosx ←求まる

s(x)=2x	→s’(x)=2 ←簡単になる
t’(x)=−cosx	←t(x)=−sinx ←求まる

f(n)(x)はf(x)のn階微分，g(−n)(x)はg(x)のn階積分とする

x3sinxdx

exsinxdx

f(x)=ex	→f’(x)=ex
g’(x)=sinx	←g(x)=−cosx

s(x)=ex	→s’(x)=ex
t’(x)=−cosx	←t(x)=−sinx

次のような１次方程式の解き方を思い出すとよい.
x=6−x → 2x=6 → x=3
これと同様に，もし積分 (I) が自分自身 (I)で表されていれば
I=f(x)−I → 2I=f(x) → I=

注意
　もし、ある関数（例えばex）を微分したのであるならば，その微分も微分しなければならなず，他方の関数（例えば sin x）を積分したのであればその積分をさらに積分しなければならない.
　さもなければ（もし途中で微分の向きと積分の向きを逆にしてしまうと）何も得られず努力は水の泡となる.
fg’dx=fg−f’gdx=fg−(fg−fg’dx)
fg’dx=fg−fg+fg’dx
0=0

(1) x2cosxdx Help

符号	微分	積分
+	f(x)=x2	g(1)(x)=cos x
−	f(1)(x)=2x	g(x)=sin x
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=−cos x
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=−sin x

x2cosxdx =x2sin x−(−2x cos x)+2(−sin x)+C

=x2sin x+2x cos x−2sin x+C

(2) x2cos2xdx Help

符号	微分	積分
+	f(x)=x2	g(1)(x)=cos 2x
−	f(1)(x)=2x	g(x)=
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=−
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=−

x2cos2xdx =x2−(−2x )+2(−)+C

=x2sin 2x+x cos 2x−sin 2x+C

=(2x2−1)sin 2x+x cos 2x+C

(3) x2e2xdx Help

符号	微分	積分
+	f(x)=x2	g(1)(x)=e2x
−	f(1)(x)=2x	g(x)=
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=

x2e2xdx =x2−2x +2+C

=x2e2x−xe2x+e2x+C

=(2x2−2x+1)+C

(4) (x+1)2e2xdx Help

符号	微分	積分
+	f(x)=(x+1)2	g(1)(x)=e2x
−	f(1)(x)=2(x+1)	g(x)=
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=

(x+1)2e2xdx =(x+1)2−2(x+1) +2+C

=(x+1)2e2x−(x+1)e2x+e2x+C

=(2x2+4x+2−2x−2+1)+C

=(2x2+2x+1)+C

(5) excosxdx Help

excosxdx=exsinx−exsinx dx
部分積分を繰り返す
exsinx−exsinx dx
=exsinx−{ex(−cosx)−ex(−cosx)dx}
=exsinx+excosx−excosx dx
I=excosx dx
I=exsinx+excosx−I
2I=exsinx+excosx
I=(sinx+cosx)+C

(6) excos2xdx Help

excos2xdx=ex −ex dx
部分積分を繰り返す
excos2xdx =ex −ex dx
=ex −{ex(−)−ex(−)dx}
=ex sin2x+ex cos2x−ex cos2x dx
I=excos2x dx
I=(2sin2x+cos2x)−
I=(2sin2x+cos2x)
I=(2sin2x+cos2x)+C

(7) exsin2xdx Help

exsin2xdx=ex(−)−ex(−) dx
=−excos2x+ex dx
部分積分を繰り返す
−excos2x+ex dx

=−excos2x+(ex −exdx)
=(sin2x−2cos2x)−exsin2xdx
I=exsin2x dx
I=(sin2x−2cos2x)−
I=(sin2x−2cos2x)
I=(sin2x−2cos2x)+C

logの不定積分で昨日質問したものです。不明点が正しく伝わっていなかったのでもう一度部分積分で疑問に思ったことを書かせていただきます。この項では同じ番号の例題が上の方と下の方にあるので、上下で区別して質問を書いていきます。 上の方の例3,4では、下の方の例1のようには微分する側が0にならないのに、下の方の例2のように部分積分の繰り返しをしなくていいのはなぜなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．下の方の例1では部分積分の公式において，右辺第２項が既知の関数ではなくて求めたい未知関数自体であるのに対して，上の例3,4では既知の（計算可能な）関数だからです．

高卒の項の不定積分で、∫(logx)^2 dxが問題としてあったのですが、これをこの項の部分積分の繰り返しのところの表をつかった解き方でといたのですが、答えのx(logx)^2-2x+Cにたどり着けませんでした。微分する側を(logx)^2にしたのですが、微分する側が0にならないため困っています。表を使った解き方で解いてはくれないでしょうか？(表の途中式が知りたいです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページの下の方を見てください．

とっても分かりやすくて良かったです！ 参考になりました！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．