ベクトルの平行条件，垂直条件

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「ベクトル」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓ベクトルの定義
↓ベクトルの和
↓ベクトルの差
↓2点間のベクトル
↓ベクトルの実数倍
↓ベクトルの実数倍･和･差

↓ベクトルの図形への応用
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(5)
↓同(6)

↓内分点の内分点
↓同(2)

↓点の存在範囲
↓同(2)

↓２直線の交点1
↓２直線の交点2
↓外心,重心,垂心,内心,オイラー線

↓ベクトル成分の計算
↓ベクトルの大きさ

↓ベクトルの内積
↓ベクトルの内積（成分）
↓ベクトルのなす角
↓|a|の変形

↓ベクトルの平行条件,垂直条件-現在地
↓一直線上にある条件

↓ベクトル方程式（内積）
↓ベクトルの公式一覧

センター試験.ベクトル.三角関数(2013年～)

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== ベクトルの平行条件，垂直条件 ==

【ベクトルの平行条件】
２つのベクトル

\vec{a} \neq 0

，

\vec{b} \neq 0

について

\vec{a}

と

\vec{b}

が平行（

\vec{a} / / \vec{b}

）
となるための必要十分条件は

\vec{a} = t \vec{b}

となる実数tが存在すること
（

\vec{b} = s \vec{a}

となる実数sが存在することと言っても同じ）

「存在すること」という表現が分かりにくいとき，「t（またはs）が求まればよい」と考えればよい。

（解説）

【例１】

\vec{a} = (x, - 4)

と

\vec{b} = (- 3, 6)

が平行となるように定数xの値を定めてください．

（解答）

\vec{a} = t \vec{b}

（tは実数）
より
(x, −4)=t(−3, 6)
成分に分けると

x=−3t…(1)
−4=6t…(2)
(2)より

t = - \frac{2}{3}

これを(1)に代入するとx=2…（答）

【例２】
ベクトル

\vec{a} = (3, - 4)

と同じ向きで大きさが１のベクトルの成分を求めてください．

（解答）
求めるベクトルを

\vec{b} = (x, y)

とおく

\vec{b} = t \vec{a} (t > 0)

…(1)

| \vec{b} | = 1

…(2)
が条件になる．
(1)から(x, y)=t(3, −4) → x=3t, y=−4t
これを(2)に代入すると

\sqrt{(3 t)^{2} + (- 4 t)^{2}} = 1

25 t^{2} = 1

t = \pm \frac{1}{5}

(1)によりt>0だから

t = \frac{1}{5}

\vec{b} = (x, y) = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})

…（答）

【ベクトルの垂直条件】
２つのベクトル

\vec{a} \neq 0

，

\vec{b} \neq 0

について

\vec{a}

と

\vec{b}

が垂直（

\vec{a} ⊥ \vec{b}

）
となるための必要十分条件は

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

となること

※　垂直，直交，直角，90° 垂直である，垂直になる
直交する(直角に交わる)
直角，直角になる
90°になる，・・・
・・・・言い回しは少しずつ異なりますが，同じ意味。

【例３】

\vec{a} = (x, - 4)

と

\vec{b} = (- 3, 6)

が垂直になるように定数xの値を定めてください．

（解答）

\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3 x - 24 = 0

より
x=−8…（答）

【問題】　次の空欄を埋めなさい。
(1)　

\vec{b} = t \vec{a}

となるように成分の値を定める．

(6, k) = t (2, - 3)

より

6=2t
k=−3t
t=3, k=−9
(2)　

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

となるように成分の値を定める．
12−3k=0よりk=4

(1)　

t \vec{a} = \vec{b}

となるように成分の値を定める．

t (2, - 1) = (k, k + 3)

より

2t=k
−t=k+3
t=−1, k=−2
(2)　

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

となるように成分の値を定める．
2k−(k+3)=0よりk=3

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (k \vec{a} - \vec{b}) = 0

となるようにkの値を定める．

\vec{a} + \vec{b} = (3, 0)

k \vec{a} - \vec{b} = (k, k) - (2, - 1) = (k - 2, k + 1)

だから
3(k-2)=0
k=2

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／18.7.29］

例２は25t^2ではなく5t^2ではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\sqrt{25t^2}=1$ だから $25t^2=1$ です．1段階省略がありますが，瞬間の暗算ということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／17.6.27］

正解はいいものの、途中式は欲しいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ヒントというボタンを押したときに表示されるものを途中式というのではないのか？他にどんな途中式があるのか？

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