余弦定理の２次方程式

大きな区分

現在地と前後の項目

正弦定理（解説） /正弦定理（問題）/分数型の方程式/分数型の方程式2/余弦定理/三辺→角/三角形を解くとは/余弦定理の２次方程式/筆算だけで解く問題(1)/筆算だけで解く問題(2)/最大角・最小角/三角形の形状問題/三角形の証明問題/ヘロンの公式/内接円の半径/正弦･余弦･面積(センター問題1)/三角比のセンター試験問題2/正弦･余弦･面積(センター問題3)/

このページのマイナーチェンジありカバー版ページ
（グーグルブロガー版）は，こちら⇒

■余弦定理の２次方程式

《解説》
□
　２辺a, bの長さと角Aの大きさが与えられているとき，△ABCの他の要素を求める問題は，

により，正弦定理を用いて角Bを求めるのが第一手と考えるのが基本です.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \to \sin B = \frac{b \sin A}{a}

□
　しかし，ここでは，２辺a, bの長さと角Aの大きさから辺cの長さを求める他の方法を紹介します.

a, b, Aが与えられているとき，
余弦定理　a2=b2+c2−2bccosA
を辺cについての２次方程式と見てcを求めることができます.
⇒　c2−(2b cos A)c+(b2−a2)=0

【例】

a = 2, b = \sqrt{6}, A = 45^{\circ}

のとき辺cの長さを求めなさい.

(答案)　
　角Ａを用いた余弦定理から２次方程式を作ると，
a2=b2+c2−2bc cosA
$4 = 6 + c^{2} - 2 \sqrt{6} \times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$c^{2} - 2 \sqrt{3} c + 2 = 0$
解の公式から $c = \sqrt{3} \pm 1$ ・・・(答)

※２次方程式の解は，通常２個あります．
２つとも三角形の辺の長さを表しているか，1つだけが答となるかは，三角形ができるかどうかで判断します.
　もし，２次方程式の解が

c = 1 \pm \sqrt{3}

となった場合には，

c = 1 + \sqrt{3}

だけが答です.（

c = 1 - \sqrt{3}

では三角形はできないからです.）

《問題》　△ABCにおいて次の問に答えなさい．（暗算では無理ですので別途計算用紙を使ってください）（各々右の選択肢をクリック）
１ a=7, b=5, A=60° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ に代入 $49 = 25 + c^{2} - 2 \times 5 \times c \times \frac{1}{2}$ c2−5c−24=0 (c−8)(c+3)=0 c=8, −3 c>0によりc=8

２ a=7, b=5, A=120° のとき辺cの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ に代入 $49 = 25 + c^{2} - 2 \times 5 \times c \times (- \frac{1}{2})$ c2+5c−24=0 (c+8)(c−3)=0 c=−8, 3 c>0によりc=3

３ $c = \sqrt{31}, a = 5, C = 60^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ に代入 $31 = 25 + b^{2} - 2 \times 5 \times b \times \frac{1}{2}$ b2−5b−6=0 (b+1)(b−6)=0 b=−1, 6 b>0によりb=6

４ $a = \sqrt{2}, c = \sqrt{6}, A = 30^{\circ}$ のとき辺bの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ に代入 $2 = b^{2} + 6 - 2 \times b \times \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $b^{2} - 3 \sqrt{2} b + 4 = 0$ $(b - 2 \sqrt{2}) (b - \sqrt{2}) = 0$ （解の公式で解いてもよい） $b = \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$ （答は２つある）

５ $b = \sqrt{7}, c = 4, B = 30^{\circ}$ のとき辺aの長さを求めなさい. HELP	2，3，4， 5 6，7，8 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $2 \sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ または $3 \sqrt{3}$ $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ $\sqrt{2} \pm 1$ ， $\sqrt{3} \pm 1$ 上記以外
$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a \cos B$ に代入 $7 = 16 + a^{2} - 2 \times 4 \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a^{2} - 4 \sqrt{3} a + 9 = 0$ $(a - 3 \sqrt{3}) (a - \sqrt{3}) = 0$ （解の公式で解いてもよい） $a = \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}$ （答は２つある）

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります