分数の方程式

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== 分数型の方程式 ==

　正弦定理を利用して問題を解くときには，次のような分数型の方程式がしばしば登場します.ここでは，正弦定理を利用するための準備として，分数型の方程式の変形を練習します.

(a)　

\frac{x}{b} = \frac{c}{d}

のように未知数が左辺の分子にある場合

両辺の分母にあるb, dを２つとも払うために，両辺にbdを掛けると
dx=bc
両辺をdで割ると

x = \frac{b c}{d}

…（答）

初めの問題：

\frac{x}{b} = \frac{c}{d}

答：

x = \frac{b c}{d}

（bが対角方向に移動しただけ）

【問題１】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものをクリックすれば解説が出ます．クリックしなければ解説は出ません）

(1)

\frac{x}{2} = \frac{5}{3}

解説やり直す

x = \frac{5}{6}

x = \frac{10}{3}

x = \frac{6}{5}

x = \frac{3}{10}

（分母を払う解き方では）
分母の２と３を払うために，両辺に６を掛ける

\frac{x}{2} \times 6 = \frac{5}{3} \times 6

3 x = 10

両辺を3で割る

x = \frac{10}{3}

…（答）

（移動させる解き方では）
２を斜めに掛け算で移動する

x = \frac{5 \times 2}{3} = \frac{10}{3}

…(答)

→閉じる←

(2)

\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{2}}

解説やり直す

x = \frac{5 \sqrt{3}}{2}

x = \frac{2 \sqrt{5}}{3}

x = \frac{5 \sqrt{6}}{6}

x = \frac{5 \sqrt{6}}{2}

（分母を払う解き方では）
分母の

\sqrt{2}

と

\sqrt{3}

を払うために，両辺に

\sqrt{6}

を掛ける

\sqrt{2} x = 5 \sqrt{3}

両辺を

\sqrt{2}

で割る

x = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}

右辺の分母を有理化する

x = \frac{5 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}

…（答）

（移動させる解き方では）

\sqrt{3}

を斜めに掛け算で移動する

x = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}

右辺の分母を有理化する

x = \frac{5 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}

…（答）

→閉じる←

※実際に正弦定理を使うときに出る形（暗算では無理です．計算用紙が必要です．）

(3)

\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{3}{\sin 45^{\circ}}

※計算には，

\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

の値を使うこと．

解説やり直す

a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

a = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

a = \frac{3 \sqrt{6}}{2}

a = \frac{2 \sqrt{6}}{3}

（分母を払う解き方では）
分母の

\sin 30^{\circ}

と

\sin 45^{\circ}

を払うために，両辺に

\sin 30^{\circ} \times \sin 45^{\circ}

を掛ける

\sin 45^{\circ} a = 3 \sin 30^{\circ}

両辺を

\sin 45^{\circ}

で割る

a = \frac{3 \sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}

三角比の値を代入する

a = \frac{3 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}

2と

\sqrt{2}

を払うために，分母分子に

2 \sqrt{2}

を掛ける

a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

…（答）

（移動させる解き方では）

\sin 30^{\circ}

を斜めに掛け算で移動する

a = \frac{3 \sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}

以後は，左の答案と同じ

a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

…（答）

→閉じる←

(b)　

\frac{a}{x} = \frac{c}{d}

のように未知数が左辺の分母にある場合

両辺の分母にあるx, dを２つとも払うために，両辺にxdを掛けると
ad=cx
両辺をcで割ると

\frac{a d}{c} = x

…（答）

初めの問題：

\frac{a}{x} = \frac{c}{d}

答：

\frac{a d}{c} = x

（x, c, dを対角方向に移動しただけ）

【問題２】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)

\frac{2}{x} = \frac{5}{3}

解説やり直す

x = \frac{15}{2}

x = \frac{10}{3}

x = \frac{6}{5}

x = \frac{3}{10}

（分母を払う解き方では）
分母のxと3を払うために，両辺に3xを掛ける
6=5x
両辺を5で割る

\frac{6}{5} = x

左辺と右辺を入れ換える

x = \frac{6}{5}

…（答）

（移動させる解き方では）
xを右上に，3を左上に，5を左下に，それぞれ掛け算で移動する

\frac{6}{5} = x

左辺と右辺を入れ換える

x = \frac{6}{5}

…（答）

→閉じる←

(2)

\frac{\sqrt{3}}{x} = \frac{3}{\sqrt{2}}

解説やり直す

x = \frac{\sqrt{6}}{2}

x = \frac{\sqrt{6}}{3}

x = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

x = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

（分母を払う解き方では）
分母のxと

\sqrt{2}

を払うために，両辺に

\sqrt{2} x

を掛ける

\sqrt{6} = 3 x

両辺を3で割る

\frac{\sqrt{6}}{3} = x

左辺と右辺を入れ換える

x = \frac{\sqrt{6}}{3}

…（答）

（移動させる解き方では）
xを右上に，

\sqrt{2}

を左上に，3を左下に，それぞれ掛け算で移動する

\frac{\sqrt{6}}{3} = x

左辺と右辺を入れ換える

x = \frac{\sqrt{6}}{3}

…（答）

→閉じる←

※実際に正弦定理を使うときに出る形（暗算では無理です．計算用紙が必要です．）
　

(3)

\frac{\sqrt{3}}{\sin A} = \frac{3}{\sin 60^{\circ}}

（

\sin A

を求める）

※計算には，

\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

の値を使うこと．

解説やり直す

\sin A = \frac{1}{2}

\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{3}

（分母を払う解き方では）
分母の

\sin A

と

\sin 60^{\circ}

を払うために，両辺に

\sin 60^{\circ} \times \sin A

を掛ける

\sqrt{3} \sin 60^{\circ} = 3 \sin A

両辺を3で割る

\frac{\sqrt{3}}{3} \sin 60^{\circ} = \sin A

左辺と右辺を入れ換える

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin 60^{\circ}

三角比の値を代入する

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}

…（答）

（移動させる解き方では）

\sin A

を右上へ，

\sin 60^{\circ}

を左上へ，3を左下へ掛け算で移動する

\frac{\sqrt{3}}{3} \sin 60^{\circ} = \sin A

以後は，左の答案と同じ

\sin A = \frac{1}{2}

…（答）

→閉じる←

(c)　

\frac{a}{b} = \frac{x}{d}

のように未知数が右辺の分子にある場合

両辺の分母にあるb, dを２つとも払うために，両辺にbdを掛けると
ad=bx
両辺をbで割ると

\frac{a d}{b} = x

…（答）

初めの問題：

\frac{a}{b} = \frac{x}{d}

答：

\frac{a d}{b} = x

（dが対角方向に移動しただけ）

(d)　

\frac{a}{b} = \frac{c}{x}

のように未知数が右辺の分母にある場合

両辺の分母にあるb, xを２つとも払うために，両辺にbxを掛けると
ax=bc
両辺をaで割ると

x = \frac{b c}{a}

…（答）

初めの問題：

\frac{a}{b} = \frac{c}{x}

答：

x = \frac{b c}{a}

（a, b, xを対角方向に移動しただけ）

【要点】
≪慎重に変形していくには≫ ⇒ 両辺の分母を払って考えるとよい
≪暗算でやるには≫ ⇒ 対角方向に移動させるとよい

※中学で習う「移項」とは違う．横に動かすのではない

【問題３】　次の方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)

\frac{3}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}}

（bを求める）

解説やり直す

b = \frac{\sqrt{3}}{2}

b = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

b = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

b = \frac{3 \sqrt{6}}{2}

b = \frac{3 \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}

…(答)

→閉じる←

(2)

\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2}{\sin B}

（

\sin B

を求める）

解説やり直す

\sin B = \frac{1}{2}

\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}

\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}

\sin B = \sqrt{3}

\sin B = \frac{2}{\sqrt{2}} \times \sin 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}

…（答）

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