■接線の方程式
■１ 　接線の方程式
《要点》
■1
(1)　楕円
.x2a2nn+.y2b2nn=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
.x1_xa2nnn+.y1_yb2nnn=1 …(1)

(2)　双曲線
.x2a2nn−.y2b2nn=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
.x1_xa2nnn−.y1_yb2nnn=1 …(2)

(3)　放物線
y2=4px
上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
y1 y=2p(x+x1 ) …(3)

《なんとなく規則性》
元の方程式 x2 → 接線では積にする x1x
元の方程式 2x → 接線では和にする x+x1
【解説】
(1)
.x2a2nn+.y2b2nn=1 の両辺を x で微分すると

.2xa2nn+.2yb2nn.dydxnn=0 より .dydxnn=−.b2xa2ynn となるから

接線の傾きは　 −.b2x1a2y1nnn

接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

y−y1=−.b2x1a2y1nnn(x−x1)

a2y1y−a2y12=−b2x1x+b2x12

a2y1y+b2x1x=b2x12+a2y12

.x1xa2nn+.y1yb2nn=.x12a2nn+.y12b2nn

ここで，接点 P(x1 , y1) は楕円上の点だから

.x12a2nnn+.y12b2nnn=1

を満たす．よって，
.x1xa2nnn+.y1yb2nnn=1 → (1)

(2)
.x2a2nn−.y2b2nn=1 の両辺を x で微分すると

.2xa2nn−.2yb2nn.dydxnn=0 より .dydxnn=.b2xa2ynn となるから

接線の傾きは　 .b2x1a2y1nnn

接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

y−y1=.b2x1a2y1nnn(x−x1)

a2y1y−a2y12=b2x1x−b2x12

b2x1x−a2y1y=b2x12−a2y12

.x1xa2nn−.y1yb2nn=.x12a2nn−.y12b2nn

ここで，接点 P(x1 , y1) は双曲線上の点だから

.x12a2nnn−.y12b2nnn=1

を満たす．よって，
.x1xa2nnn−.y1yb2nnn=1 → (2)
（続く→）



　【復習：陰関数の微分法（数学 III）】
曲線の方程式が
ax2+by2=1 …(A)
のように，y=... の形でなく，x , y の関係式の形で表わされているものを陰関数という．陰関数で表示された関数の導関数を求めるには，陰関数の微分法を用いる．
　例えば，(A)において導関数を求めるには，そのまま両辺を x で微分するとよい．その際，y の関数 y2 を x で微分するためには，合成関数微分法を用いる：
.dzdxnn=.dzdynn.dydxnn

これにより，
.ddxnn(y2)=.ddynn(y2).dydxnn=2y .dydxnn

(A)の両辺を x で微分すると
2ax+2by .dydxnn=0

となり， .dydxnn= −.axbynn

が求まる．（このような場合，導関数は x も y も用いて表わす．）

（→続き）
(3)
y2=4px の両辺を x で微分すると

2y .dydxnn=4p より .dydxnn=.2pynn となるから

接線の傾きは　 .2py1nn

接点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

y−y1=.2py1nn(x−x1)

y1y−y12=2px−2px1

y1y=2px+y12−2px1

ここで，接点 P(x1 , y1) は放物線上の点だから
y12=4px1

を満たす．よって，
y1y=2px+2px1=2p(x+x1) → (3)
《基本事項のチェック》

(1) 楕円 .x24nn+.y23nn=1 上の点 P(1, .32n) における接線の方程式は

.1·x4nnn+.32n.y3n=1

x+2y=4

(2) 双曲線 .x29nn−.y24nn=1 上の点 P(.√10√nni, .23n) における接線の方程式は

..√10√nnix9nnnn−.23n.y4n=1

2.√10√nnix−3y=18
 (3) 放物線 y2=4x 上の点 P(1 ,−2) における接線の方程式は

−2y=2(x+1)
x+y+1=0
　問題　
　
(1)　楕円 .x216nn+.y29nn=1 上の点 P(.√7√ni ,−.94n) における接線の方程式は
.√√nni x−y=16
(2)
　　双曲線 .x22nn−.y23nn=1 上の点 P(2 , .√3√ni) における接線の方程式は
x−.√√nni y=3
(3)
　放物線 y2=12x 上の点 P(3 ,−6) における接線の方程式は
x+y+=0

採点する やり直す 解説
　　

■２ 　極線の方程式
　　※極線という用語は，高校の教科書にはない．入試問題などで，極線という用語を使わずに，その内容が問われることはある．

(1)
《要約》
P(x0 , y0) が楕円
.x2a2n+.y2b2n=1

外の１点であるとき，
.x0_xa2nnn+.y0_yb2nnn=1 …(4)

は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．

（解説）
　点 P(x0 , y0) が楕円外の１点であるとき，
.x0xa2nnn+.y0yb2nnn=1

は，接線を表わさない．
　この直線は，右図のように点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となり，点 P(x0 , y0) を極とする極線と呼ばれる．


《特別に円の場合》
P(x0 , y0) が円
x2+y2=r2
外の１点であるとき，
x0x+y0y=r2
は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．
《証明》
■1(1)で述べた通り，点 (x1 , y1) が楕円上の１点であるとき，

.x1xa2nnn+.y1yb2nnn=1 …(B)

は，点 (x1 , y1) における接線の方程式を表わす．
　同様にして，点 (x2 , y2) が楕円上の１点であるとき，

.x2xa2nnn+.y2yb2nnn=1 …(C)

は，点 (x2 , y2) における接線の方程式を表わす．
　(B)(C)の交点を (x0 , y0) とすると，

.x1x0a2nnn+.y1y0b2nnn=1 …(D)

.x2x0a2nnn+.y2y0b2nnn=1 …(E)

が成り立つ．
　ここで，直線
.xx0a2nnn+.yy0b2nnn=1 …(F)

を考えると，(D)(E)は２点 (x1 , y1) , (x2 , y2) が直線 (F)上にあることを示している．
したがって，(F)は２つの接点を通る直線となる．
同様にして，次が成り立つ．
(2)
P(x0 , y0) から双曲線

.x2a2n−.y2b2n=1

に２本の接線がひけるとき，

.x0_xa2nnn−.y0_yb2nnn=1 …(5)

は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．


(3)
P(x0 , y0) から放物線
y2=4px
に２本の接線がひけるとき，
y0y=2p(x+x0) …(6)
は，点 P(x0 , y0) から引いた２つの接線の接点を結ぶ直線となる．

　問題　
(1)
　点 (3 , 4) から円 x2+y2=4 にひいた２つの接線の接点を結ぶ直線の方程式を求めよ．
x+y=4

(2)
点 (4 , 3) から楕円
.x216nn+.y29n=1

にひいた２つの接線の接点を結ぶ直線の方程式を求めよ． 　
x+y=12


採点する やり直す 解説

■３ 　２次曲線の接線の平行移動
■1
(1)　楕円
.(x−p)2a2nnnnn+.(y−q)2b2nnnnn=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は

.(x−p)(x1−p)a2nnnnnnnnnn+.(y−q)(y1−q)b2nnnnnnnnnn=1 …(7)

(2)　双曲線
.(x−p)2a2nnnnn−.(y−q)2b2nnnnn=1

上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
.(x−p)(x1−p)a2nnnnnnnnnn−.(y−q)(y1−q)b2nnnnnnnnnn=1 …(8)

(3)　放物線
(y−t)2=4p(x−s)
上の点 P(x1 , y1) における接線の方程式は
(y−t)(y1−t)=2p{ (x−s)+(x1−s) }) …(9)

《なんとなく規則性》
元の方程式 (x−p)2 → 接線 (x−p)(x1−p)
元の方程式 2(x−p) → 接線 (x−p)+(x1−p)
　
　【解説】･･･グラフと接点を原点を中心とするグラフに戻す→接線の方程式を求める→接線を平行移動する
　　(1)　グラフと接点を x 方向に −p， 方向に −q だけ平行移動すると，
接点 (x−p , y−q) は
楕円 .x2a2nn+.y2b2nn=1 上にあるから

接線(1)’の方程式は .(x1−p)xa2nnnnnn+.(y1−q)yb2nnnnnn=1

この接線を x 方向に p，y 方向に q だけ平行移動すると 接線(1)の方程式は

.(x1−p)(x−p)a2nnnnnnnnnn+.(y1−q)(y−q)b2nnnnnnnnnn=1

になる．
(2)も同様に求められる．
(3)
グラフと接点を x 方向に −s，y 方向に −t だけ平行移動すると，
接点 (x−s , y−t) は
放物線 y2=4px 上にあるから
接線(3)’の方程式は (y1−t)y=2p(x + x1−s)
この接線を x 方向に s，y 方向に t だけ平行移動すると 接線(3)の方程式は (y1−t)(y−t)=2p{ (x−s)+ (x1−s)}

になる．
例題
(1) 放物線 (y−2)2=4(x−3) 上の点 (4 , 4) における接線の方程式を求めよ．

答案
(4−2)(y−2)=2{ (x−3)+(4−3) }
2(y−2)=2(x−2)
y=x
　問題　
(1)
楕円
.(x+1)24nnnnn+.(y−2)23nnnnn=1

上の点 P(0 , .72n) における接線の方程式は

x+y=


(2)
双曲線
.(x−4)23nnnnn−.(y+1)22nnnnn=−1

上の点 P(7 , 2.√2√ni−1) における接線の方程式は

x−.√√nniy=+.√√nni



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