■多項式、分数関数、無理関数の不定積分

【内容】
　この頁では次のような関数の不定積分を扱う。
(1)　5x3dx , x(2x+1)dx , (3x−4)5dxなど
……多項式の不定積分（数学II の復習）
(2)　 dx , dxなど
……分数関数の不定積分
(3)　dx , dx , x− dxなど
……無理関数の不定積分

【公式】
(I)　xαdx=+C(α≠−1)
α=−1のときだけは例外として、次の公式による。
(II)　 dx=log|x|+C

≪証明≫
　各々微分してみると分かる。
(1) ← xα=αxα−1だから()=xα


(2) ← log x= (x>0)
またlog(−x)= − = (x<0)
だから、log|x|= (x≠0)
　数学III で登場する多項式、分数関数、無理関数の不定積分は左の公式だけでは処理できず、部分分数分解、置換積分、部分積分などの公式も合わせて使う。したがって、この頁を読むには部分分数分解、置換積分、部分積分などの項目を先に読んでおく必要がある。

　多項式はxn(nは0以上の整数)の形の式の定数倍・和・差なので、左の(I)の公式でαに0以上の整数をあてはめると求められる。

　分数関数は=x− n(nは正の整数)、=(2x+1)− 1
などと負の指数で表せるので、左の(I)の公式でαに負の整数を当てはめると求められる。

　無理関数は=x、=(2x+3)
などと分数の指数で表せるので、左の(I)の公式でαに分数を当てはめると求められる。

　一般にαが−1以外の実数であればα=のような無理数の場合も含めて、左の公式(1)が成り立つ（証明は対数微分法による）が、高校ではαが無理数の問題はめったに扱わない。

※次の表において、αが分数であることと分数関数とは対応しておらず、αが無理数であることと無理関数とは対応していないことに注意。
αが0または正の整数 αが負の整数 αが分数
xαは（単項式）多項式 xαは分数関数 xαは無理関数
※ y=log|x|のグラフは左右２つのグラフから成る。（x<0のときはy=log(−x)を表す。）
例1
■多項式の不定積分■
(1) 5x3dx= x4+C(←x3dx= x4+C)
(2) x(2x+1)dx=(2x2+x)dx= x3+x2+C
(←積の形になっている式は、展開して和差の形にしてから積分する)
(3) (3x+2)3dx
3x+2=tとおいて置換積分を行う
=3 → dx=


(3x+2)3dx=t3= +C= +C
(4) x(x+1)3dx
展開したくない方（次数の高い方のかっこ内）を１文字にする：x+1=tとおいて置換積分を行う
=1 → dx=dt…(i)
x=t−1…(ii)

(i)(ii)を代入
x(x+1)3dx=(t−1)t3dt=(t4−t3)dt= − +C
= − +C=(x+1)4( − )+C
= +C
◇問題1◇　次の不定積分を求めよ。（正しいものを選べ。）
※　計算用紙が必要です。

(1)　(x+2)(x−3)dx

2x−1+C − −6x+C
(x+2)( − 3x)+C ( +2x)( −3x)+C


(2)　(2x−3)4dx

+C +C
+C 4(2x−3)3+C

(3)　(x−1)(x+2)2dx

+C +C
+C +C
例2
■分数関数の不定積分■
分数関数の積分では
x−1dx= dx=log|x|+C
の形だけが例外で、他の次数については
dx=x−ndx= +C(α≠−1)
による。
　なお、「割り算によって分子の次数を下げておくこと」や「部分分数分解」などの前処理が必要となることが多い。
(1)
2x+1=tとおいて置換積分を行う
=2 → dx=

= · = log|t|+C= log|2x+1|+C


一般に
= log|ax+b|+C(a≠0)
が成り立つ。（置換積分ができれば、これ自体を覚える必要はない。）

(2) dx
割り算をして商と余りに分け、商を整数部分に余りを分子とする。これにより
［分子の次数＜分母の次数］
の形となるように変形しておく。
(x+3)÷(x+1)=1 ··· 2 → =1+

dx=(1+ )dx=x+2log|x+1|+C


(3) dx=3x−2dx=3 +C=−3x−1+C
= − +C


(4) dx
展開したくないもの（分母）のかっこ内を１文字にする：x−1=tとおいて置換積分を行う
=1 → dx=dt…(i)
2x+1=2(t+1)+1=2t+3…(ii)

dx= ( )dt= ( + )dt
=( + 3t−2 )dt=2log|t|− +C=2log|x−1|− +C
■分母が２次式（以上）になっているもの■
(a) 分母が(ax+b)2の形になっている（D=0型）とき
⇒ax+b=tとおいて置換積分するとよい（左の(4)）

(b) 分母が1次式の積に因数分解できるとき（D>0型）とき
⇒部分分数分解により分母を１次式に直す（下の(5)）

(c) 分母が（実数の範囲では）因数分解できないとき（D<0型）とき
⇒(*)特急券（ f’(x)/f(x) 型）が使えないかどうか確かめる（下の(6)）
(**)それがだめなら、
分母＝x2+a2 (a>0) → x=a tan tの置換積分（下の(7)）
(5)
部分分数分解により分母を１次式にする。
x2−4=(x−2)(x+2)だから
= = ( − )
※この係数は
= +
とおいて、恒等式の係数比較によりa,bを求めた結果を使う。

= ( − )dx
= (log|x−2|−log|x+2|)+C= log||+C


(6) dx

[次の形のもの→即答可能:特急券あり]
dx=log|f(x)|+C
（証明）
f(x)=tとおいて置換積分を行うと
=f’(x) → f’(x)tx=dt
dx= dt
=log|t|+C=log|f(x)|+C

(x2+2x+5)’=2x+2だから
dx= log|x2+2x+5|+C
= log(x2+2x+5)+C （∵x2+2x+5>0）


(7)
※この形の「不定積分」を表すためには逆三角関数tan−1xを要するので、現行教育課程の問題としてはほとんど出題されない。ただし、「定積分」は単なる数値になるので定積分の問題としては出題できる。

x=2tan t → =
dx= dt
x2+4=4tan2t+4=4(tan2t+1)

= dt

ここで、三角比の相互関係の公式：tan2t+1=
により、(tan2t+1)(cos2t)=1

= = t+C= tan−1 +C

tan t=xのとき、t=tan−1xと書く。
この記号（逆三角関数）を使えば、
a tan t=x → tan t= → t=tan−1
◇問題2◇　次の不定積分を求めよ。（正しいものを選べ。）
※　計算用紙が必要です。

(1)　


+C 3log|3x−2|+C
log|3x−2|+C +C


(2)　 dx


x+7log|x−3|+C x+2log|x−3|+C
+C − x +C


(3)　 dx


+C − +C
− + +C + +C


(4)　


log|(x−1)(x+1)| +C log|| +C
log|(x−1)(x+1)| +C log|| +C

(5)　 dx


log|2x| +C log(x2+1) +C
log|2x(x2+1)| +C log|| +C


(6)　


log(x2+2) +C log|| +C
tan−1 +C tan−1 +C
例3
■無理関数の不定積分■
(1) dx=xdx= x +1+C= x+C
= x · x+C= x +C


(2) dx
3x+2=tとおいて置換積分を行う
=3 → dx=

dx==t = t+C
= t+C= (3x+2)+C


(3) (3x+4)− dx
3x+4=tとおいて置換積分を行う
=3 → dx=

(3x+4)− dx=t− = t+C= +C
= +C 		(4) dx
=tとおいて置換積分を行う
x+2=t3 → x=t3−2
= 3t2 → dx=3t2dt

dx= 3t2dt=(3t4−6t)dt
= t5−3t2+C = −3 +C
= { (x+2)−3}+C= +C
◇問題3◇　次の不定積分を求めよ。（正しいものを選べ。）
※　計算用紙が必要です。

(1)　


2+C +C
+C +C


(2)　dx


+C +C
(2x+3) · +C (2x+3) · +C

(3)　xdx


x2+ +C +C
(x+1)2 +C (x+1)(3x−2)+C


■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式,分数関数,無理関数の不定積分について／17.1.22］
見やすい！ あらゆる場合を網羅していて、分かりやすく復習ができた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．