不定積分

まず，次の点に注意してください．
■積分を求めてから後で掛けてよいのは，定数 $k$ との掛け算になっている場合だけです．
$\int kf(x) dx=k \int f(x) dx=kF(x) + C$
≪正しい例≫
$\int 3x dx=3\times \frac{x^2}{2} + C=\frac{3}{2}x^2 + C$

■これに対して積の形になっている関数を積分するときに，１つずつ積分してから後で掛けても正しい答にはなりません．
≪間違いの例≫
$\int x\cdot x^2 dx=\frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + C$
≪正しくは≫
$\int x^3 dx=\frac{x^4}{4} + C$

（これが基本）
　数学Ⅱでは
$\int (x+ 1)(x + 2) dx$ や $\int (x+ 1)^2 dx$ のように積
の形の関数をそのまま積分する公式は扱いませんので，これらの積分をするときは「前もって展開をしてから積分を求める」のが基本です．

【例】
(1)　 $\int (x+ 1)(x + 2) dx=\int (x^2 + 3x + 2)dx$
$=\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$
(2)　 $\int (x+ 1)^2 dx=\int (x^2 + 2x + 1)dx$
$=\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C$

※上に述べた定数との掛け算でも，定数という関数として扱うと，次のように間違った計算になります．
≪間違いの例≫
$\int 3\cdot x dx= 3x \cdot \frac{x^2}{2} + C=\frac{3}{2}x^3 + C$
定数は，積分記号の外に出せるだけですので注意しましょう．
≪正しくは≫
$\int 3x dx=3\int x dx=3\times \frac{x^2}{2} + C$

なお発展学習として，１次式の累乗になってる関数の積分については，次の公式がありますが，この公式は「かっこ」内が２次式以上の場合には使えません．
$\int (ax+ b)^n dx=\frac{1}{a(n+ 1)}(ax+ b)^{n+ 1} + C$

以下においては，この公式を覚えずに「とにかく展開してから積分する」方法だけで問題を解くことにします．

《問題》　左の不定積分に等しいものを，右から選びなさい． ○はじめに左の式を一つクリックし，続けて答をクリックすると消えます． ○間違えば消えません．間違ったときは，解答欄を連打するのではなく，問題を選び直すことから始めてください．間違ったとき，[HELP]ボタンが見えている間にそれを押せば，「左側の問題に対する解説」が出ます． ○[HELP]を使って解説を読む場合でも，読まない場合でも，新しい問題を選べば解答を再開できます．
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