→ 携帯版は別頁

高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 積分

x=aのときy=bという形の式

すなわち，F(a)=bという式

すなわち，１つの通る点(a, b)

【要点】
　一般に，導関数F'(x)だけが与えられたとき，元の関数F(x)の定数項Cは決まらない．
　導関数F'(x)と初期条件F(a)=bが与えられると，定数項Cが決まり，関数F(x)が確定する

○［次の条件を満たす関数F(x)は確定できます］
$F^{\prime }(x)=2x+1,F(0)=1$…(1)
×［次の条件を満たす関数F(x)は確定できません］
$F^{\prime }(x)=2x+1,F^{\prime }(0)=1$…(2)

(1)では，$F(x)=x^2+x+C$と初期条件F(0)=1からCが求められますが
(2)では$F(x)=x^2+x+C$に対して，F'(0)=1は初期条件になっておらず，Cを求める手掛かりがありません．（F'(x)の式ばかりだと，１つもCが含まれていないので，Cを決めることができません）

《要点》
まず不定積分を求め，次にＣを定めます.

○はじめに左の式を一つクリックし，続けて答をクリックすると消えます．
○間違えば消えません．間違ったときは，解答欄を連打するのではなく，問題を選び直すことから始めてください．間違ったとき，[解説]ボタンが見えている間にそれを押せば，「左側の問題に対する解説」が出ます．
○[解説]を使って解説を読む場合でも，読まない場合でも，新しい問題を選べば解答を再開できます．

※暗算ではできません．計算用紙を使って答えてください．

F'(x)=1より
${\displaystyle F(x)=\int 1dx=x+C}$
次にF(0)=5よりC=5
結局F(x)=x+5 $F^{\prime }(x)=2x-1$より
${\displaystyle F(x)=\int (2x-1)dx=x^2-x+C}$
次にF(1)=3よりC=3
結局$F(x)=x^2-x+3$ $F^{\prime }(x)=x^2+2x$より
${\displaystyle F(x)=\int (x^2+2x)dx}$
$={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+C$
次にF(3)=0より18+C=0
C=−18
結局$F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2-18$ $F^{\prime }(x)=x^2+2x$より
${\displaystyle F(x)=\int (x^2+2x)dx}$
$={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+C$
次にF(0)=3よりC=3
結局$F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3$ $F^{\prime }(x)=2x-1$より
${\displaystyle F(x)=\int (2x-1)dx}$
$=x^2-x+C$
次にF(3)=1より6+C=1
　C=−5
結局$F(x)=x^2-x-5$ $F^{\prime }(x)=x(x-1)$より
${\displaystyle F(x)=\int x(x-1)dx}$
${\displaystyle =\int (x^2-x)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C}$
次にF(1)=0より$-{\displaystyle \frac{1}{6}}+C=0$
$C={\displaystyle \frac{1}{6}}$
結局$F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$ $F^{\prime }(x)=3x^2-2x$より
${\displaystyle F(x)=\int (3x^2-2x)dx}$
$=x^3-x^2+C$
次にF(−1)=1より−2+C=1
C=3
結局$F(x)=x^3-x^2+3$ $F^{\prime }(x)=3x^2-2x$より
${\displaystyle F(x)=\int (3x^2-2x)dx}$
$=x^3-x^2+C$
次にF(1)=−1よりC=−1
結局$F(x)=x^3-x^2-1$ $F^{\prime }(x)=1$より
${\displaystyle F(x)=\int 1dx=x+C}$
次にF(5)=0より5+C=0
C=−5
結局F(x)=x−5 $F^{\prime }(x)=x(x^2-1)$より
${\displaystyle F(x)=\int x(x^2-1)dx}$
${\displaystyle =\int (x^3-x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C}$
次にF(1)=0より$-{\displaystyle \frac{1}{2}}+C=0$
$C={\displaystyle \frac{1}{4}}$
結局$F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$