*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「平方根，ルート」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

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○ある数が正の数であっても負の数であっても，その数の２乗は１つの正の数になります．

○逆に，2乗してある正の数になる元の数は２つあります．
例えば，３の２乗も−３の２乗も９になるので，２乗して９になる元の数は３と−３の２つです．

(1)　4の２乗

(2)　52

(3)　(−6)2

(1)　4の平方根

(2)　${\displaystyle \sqrt{4}}$

(3)　${\displaystyle -\sqrt{4}}$

(4)　${\displaystyle \pm \sqrt{4}}$

02=0 , 12=1 , 22=4 , 32=9 , 42=16 , 52=25 , ...だから
${\displaystyle \sqrt{0}}$=0
${\displaystyle \sqrt{1}}$=1
${\displaystyle \sqrt{4}}$=2
${\displaystyle \sqrt{9}}$=3
${\displaystyle \sqrt{16}}$=4
${\displaystyle \sqrt{25}}$=5, ...です．

根号の中を先に決めて，
${\displaystyle \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},..}$のような数字を考えると，これらは整数や分数では表せないことが知られています．

１つの例として，${\displaystyle \sqrt{2}}$はどんな数字になるか調べてみると，これはa2=2となるような正の数aを表しています．

　このようにして，${\displaystyle \sqrt{2}}$=1.41421356...辺りあたりの数字になりますが，この小数はどこまで行っても終わりません．
　近似値としては，${\displaystyle \sqrt{2}}$≒1.41を使うことが多いですが，正確な値で表したいときは根号を付けたまま
${\displaystyle \sqrt{2}}$
で表します．
${\displaystyle \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10},..}$なども同様にして，根号の中が「平方数（=整数の２乗）」になっていなければ簡単な整数にならないので，根号をつけたままで表します．

.√2√ni=1.41421356...　一夜一夜に人見頃（ひとよひとよにひとみごろ）
.√3√ni=1.7320508...　人並みにおごれや（ひとなみにおごれや）
.√5√ni=2.2360679...　富士山麓オーム鳴く（ふじさんろくオームなく）
.√6√ni=2.44949...　似よ良く良く（によよくよく），二夜シクシク（ふたよしくしく）
.√7√ni=2.64575...　[菜]に虫いない（なにむしいない）

※.√1√ni=1, .√4√ni=2, .√8√ni=2.√2√ni, .√9√ni=3は，覚える必要なし．

${\displaystyle \sqrt{10}}$の値について，次のうちで正しいものを選んでください．
${\displaystyle 1<\sqrt{10}<2,}$ ${\displaystyle 2<\sqrt{10}<3,}$ ${\displaystyle 3<\sqrt{10}<4,}$
${\displaystyle 4<\sqrt{10}<5}$

【ポイント】
平方数（1,4,9,16,...）の根号（${\displaystyle \sqrt{1},\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{16},...}$）と比較すると整数までの近似値が分かる．

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
${\displaystyle \sqrt{n}}$	0	1	${\displaystyle \sqrt{2}}$	${\displaystyle \sqrt{3}}$	2	${\displaystyle \sqrt{5}}$	${\displaystyle \sqrt{6}}$	${\displaystyle \sqrt{7}}$	${\displaystyle \sqrt{8}}$	3	...

(1)　${\displaystyle \sqrt{12}}$の値について，正しいものを選んでください．

(2)　${\displaystyle \sqrt{7}}$の値について，正しいものを選んでください．

(3)　${\displaystyle \sqrt{30}}$の値について，正しいものを選んでください．

a>0のとき${\displaystyle (\sqrt{a}{)}^2=a}$
${\displaystyle (-\sqrt{a}{)}^2=a}$

【例】
a2=2となる元の数aは${\displaystyle \sqrt{2}}$と${\displaystyle -\sqrt{2}}$だから
${\displaystyle (\sqrt{2}{)}^2=2}$
${\displaystyle (-\sqrt{2}{)}^2=(-1{)}^2(\sqrt{2}{)}^2=2}$

※いくら聞いても通じない人は，少し早口で読んでみると分かるかもしれません．

「２乗すると2になる正の数を${\displaystyle \sqrt{2}}$と書く」のだから，「${\displaystyle \sqrt{2}}$を２乗すると2になる」．
○${\displaystyle (\sqrt{2}{)}^2=2}$
○マイナスは２乗するとプラスになる．

a2=3となる元の数aは${\displaystyle \sqrt{3}}$と${\displaystyle -\sqrt{3}}$だから
${\displaystyle (\sqrt{3}{)}^2=3}$
${\displaystyle (-\sqrt{3}{)}^2=(-1{)}^2(\sqrt{3}{)}^2=3}$

a2=5となる元の数aは${\displaystyle \sqrt{5}}$と${\displaystyle -\sqrt{5}}$だから
${\displaystyle (\sqrt{5}{)}^2=5}$
${\displaystyle (-\sqrt{5}{)}^2=(-1{)}^2(\sqrt{5}{)}^2=5}$

↑２乗が出てきたら早めに数字にしてしまうのがコツ

↑２乗が出てきたら数字にし，１つだけ残るときは根号を残す

↑２つずつ束にするのがコツ

↑２つずつ束にして数字にし，１つだけ残るときは根号を残す

(1)　${\displaystyle (\sqrt{4}{)}^2}$

(2)　${\displaystyle (-\sqrt{6}{)}^2}$

(3)　${\displaystyle (\sqrt{6}{)}^3}$

(4)　${\displaystyle (-\sqrt{5}{)}^3}$

(5)　${\displaystyle (\pm \sqrt{7}{)}^2}$