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【逆行列とは】
ｎ次正方行列Aに対して AB=BA=En が成り立つとき，ｎ次正方行列BをAの逆行列といい，A−1で表す．ここに，Enはｎ次の単位行列とする．
【例】
※ｎ次正方行列Aの逆行列A−1が存在するとき(1) ２次の正方行列について   = =だから はの逆行列また， はの逆行列(2) ３次の正方行列について   = =だから はの逆行列また， はの逆行列AA−1=A−1A=En が成り立つ． ※正方行列でないものについては逆行列は考えない．
【逆行列の求め方】
○２次の正方行列について，高校では（教育課程により，また科目選択により，習わないことがある）次のように覚える．
（ア） |A|=ad−bc≠0のとき，逆行列が存在し
○３次以上の正方行列については， の逆行列は 1ad−bc の対角成分は入れ替えて，対角でない成分は符号だけ変えたものを考えると，= となるから，全体をad−bcで割ると単位行列になる． A=  の逆行列を求めるには，その右側に単位行列を付けた次のような行列を考えて |
○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）
○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます． 問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．
（逆行列の求め方）
【例】 (1) （高校数学で習う方法で）A=  の逆行列を求めるには，まず対角成分は入れ替えて，対角でない成分は符号だけ変えて を考える．次に，これを行列式|A|=4−6=−2で割って
A−1= とする．
行基本変形で求めるには右側に単位行列を付けた次のような行列を考える  １行目は左端が1になっている．２行目から１行目の３倍を引く  ２行目の0でない左端を1にするために，２行目を−2で割る  １行目から２行目の２倍を引いて，左側の行列を単位行列にする  よって， −1=
(2)行基本変形によって の逆行列を求めるには，はじめに右側に単位行列を付けた次のような行列を考える １行目と２行目を入れ替える  ３行目から１行目の２倍を引く  １行目から２行目を引く，３行目に２行目を足す  １行目に３行目を足す，２行目から３行目の２倍を引く  よって， −1=
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A
 = A  = のとき，これらをまとめて A  = と表せるから 両辺に右から −1を掛けるとA= −1= =
→ 3≪別解≫
A=
 とおくとA =よりa=−2, c=1A =よりa+b=1, c+d=3だから a=−2, b=3, c=1, d=2 A=
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AB+2B=Eより
(A+2E)B=E 両辺に左から(A+2E)−1を掛けると B=(A+2E)−1 A+2E=  だからB=(A+2E)−1= 
→ 3 |
 から行基本変形を行って，逆行列を求める１行目を２で割る  ３行目から１行目の４倍を引く  ２行目から３行目の３倍を引く  ２行目を２で割る  逆行列A−1の(1, 1)成分は 12
→ 1 |
 から行基本変形を行う２行目から１行目を引く  ２行２列の成分1−aが0の場合は，２行目のすべての成分が0となるため，行列式が0となり，逆行列が存在しない．これは題意に合わないからa≠0といえる．そこで２行目を1−aで割る．  １行目から２行目のa倍を引く．３行目から２行目を引く  できた逆行列の(1, 1)成分が−1であるから 1− aa−1=−1a−1−a=−(a−1) a=2 → 5 |
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≪逆行列を利用する方法≫
A  = A  = だから A  = A= −1= =  したがって A  == → 4≪行列の積の線形性を利用する方法≫
行列A，列ベクトル→x1, →x2, →y1, →y2について
A→x1=→y1，A→x2=→y2 ならば A(→x1+→x2)=→y1+→y2 が成り立つ =+だから A =A+A=+= |
≪必要なところだけ計算する≫
  = となるから，積の３列目だけ比較すると x−y+3=0…(1) 2x+y=0…(2) 3x−y+3a=1…(3) (1)(2)よりx=−1, y=2 これを(3)に代入 a=2 → 5 ≪別解：行基本変形により逆行列を求める≫  から変形し始める２行目から１行目の２倍を引く．３行目から１行目の３倍を引く  ２行目を３で割る  １行目に２行目を足す．３行目から２行目の２倍を引く  ３行目に a3a−5を掛ける まだ途中であるが，以下の変形は逆行列の(3,3)成分に影響しない．逆行列の(3,3)成分が3だから 33a−5=33a−5=1 a=2 |
 から行基本変形によって求める２行目から１行目を引く  （分数を避けるために）２行目と３行目を入れ替える  ２行目の符号を変える  １行目から２行目の２倍を引く．３行目に２行目の２倍を足す  ２行目に３行目を足す  よって，逆行列は 
→ 3
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 から行基本変形で求める１行目の符号を変える  １行目に２行目の２倍を足す  ３行目の符号を変える  １行目から３行目の５倍を引く．２行目から３行目の２倍を引く  よって､逆行列は 
→ 1
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