...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 大区分 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 中区分 ***
ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．

○右図１のような立体［分かりやすくするために階段状に表示しているが，実際は滑らかな局面で囲まれているものとする］の体積（縦棒の体積の総和）は，面積要素ds=dxdyに高さz=f(x, y)を掛けて得られる体積要素
dV=f(x, y)ds=f(x, y)dxdy
の総和として，定義域D上の重積分 .∫wn∫Dwwwf(x, y)dxdy
で求めることができます．
○f(x, y)が連続関数で，各変数の定義域がa≦x≦b, α≦y≦βであるとき,この重積分は .β∫αwww b∫awwwf(x, y)dx dy…(1)
または .b∫awww β∫αwwwf(x, y)dy dx…(2)
のように，１変数の積分の繰り返しによって行うことができます．
　(1)は右図２のように，まず変数yを固定して，各々のyについて，xで積分し（図で示した壁の面積S(y)を求めて），次にyの関数として表されたその面積をyで積分することによって体積を求めることに対応しています．
　(2)は図３のように，初めにxを固定してyで積分し，図で示した壁の面積S(x)を求めて，次にxで積分するものです．
○変数の定義域が0≦x≦1, 0≦y≦xのように他の変数に依存しているときは .1∫0www x∫0wwwf(x, y)dy dx

または0≦y≦1, y≦x≦1として
.1∫0www 1∫ywwwf(x, y)dx dy
のように計算できます．


　一般に，図４（その平面図が図５）のように積分領域Dの境界線が長方形でなく，変数x, yの値に依存している場合 .β∫αwww b(y)∫a(y)wwwf(x, y)dx dy…(A)
のように，固定された変数yの値に依存する積分区間
a(y)≦x≦b(y)についてxで積分し，できた面積S(y)（これはyの関数になる）を積分区間α≦y≦βについてyで積分します．
もしくは .b∫awww β(x)∫α(x)wwwf(x, y)dy dx…(B)

のように，固定された変数xの値に依存する積分区間
α(x)≦y≦β(x)についてyで積分し，できた面積S(x)（これはxの関数になる）を積分区間a≦x≦bについてxで積分します．
※　理論上は，(A)と(B)のどちらでも求められますが，実際の計算の複雑さは大いに違う場合があります．
　図７の場合は，初めに縦に切る（赤線）と（先にyで積分すると）積分区間の下端と上端は場合分けの必要がなく１組で済みますが，初めに横に切る（青線）と（先にxで積分すると）積分区間の下端と上端は，図の水色の領域の場合と黄色の場合とで，積分区間の組合せが異なってきます．

【例１】
　D : 0≦x≦1, 0≦y≦xのとき，重積分 .1∫0www x∫0www(x+2y)dy dx
を計算してください．

↑どの変数に代入するのかを明示するために，このような書き方も可能

【例２】
D : x2+y2≦1, x≧0のとき 重積分∫wn∫Dwww2xy2dxdyを計算してください．

問１次の重積分を計算してください．
.1∫0wwwx∫0www(x2+y2)dydx

.x∫0www(x2+y2)dy=[nx2y+.y33n=.43nx3 .1∫0www.43nx3dx=[n.13nx4=.13n …（答） → 2

問２次の重積分を計算してください．
.1∫0wwwx∫x2www2xy dydx

.x∫x2www2xy dy=[nxy2=x3−x5 .1∫0www(x3−x5)dx=[n.x44n−.x66n=.14n−.16n=.112nn …（答） → 5

問３次の重積分を計算してください．
.∫wn∫Dwwwxy dxdy( D : x2+y2≦1, x≧0, y≧0 )

積分の領域Dは右図のようになるので，0≦x≦.√1−y2√nnnni→0≦y≦1で積分すればよい．
.√1−y2√nnnni∫0wwwxydx=[n.x22ny

=.12n(1−y2)y=.12ny−.12ny3 1∫0www(.12ny−.12ny3)dy=[n.14ny2−.18ny4=.18n→ 3

問４次の重積分を計算してください． .∫wn∫Dwwwx dydx( D : x2≦y≦x+2 )

右図のようなグラフになり，y=x2とy=x+2とはx=−1, 2で交わり，−1≦x≦2の区間でx2≦y≦x+2が成り立つ．
x+2∫x2wwwx dy=[nxy

=x(x+2)−x3=−x3+x2+2x 2∫−1www(−x3+x2+2x)dx

=[n−.14nx4+.13nx3+x2=...=.94n → 2

問５次の重積分を計算してください．
.∫wn∫Dwww(x−y)dxdy( D : y≦x≦.√y√ni )

右図のようなグラフになり，x=yとx=.√y√niとはy=0, 1で交わり，0≦y≦1の区間でy≦x≦.√y√niが成り立つ．
.√y√ni∫ywww(x−y)dx=[n.x22n−yx

=(.y2n−y.√y√ni)−(.y22n−y2)

=.y22n+.y2n−y.√y√ni 1∫0www(.y22n+.y2n−y.√y√ni)dy=[n.y36n+.y24n −.25ny.52n

=.16n+.14n−.25n=.160nn→ 5

問６次の重積分を計算してください． .∫wn∫Dwww(x+y)dydx( D : x≦y≦2x, y≦1 )

x≦y≦2x, y≦1を満たす領域は右図のようになり，赤線で示したように横に切ると（初めにxで積分する）と場合分けが簡単になる．
y∫y−2www(x+y)dx=[n.x22n+yx

=(.y22n+y2)−(.y28n+.y22n)=.78ny2 1∫0www.78ny2dy=[n.724nny3=.724nn

→ 4

積分順序を一通りではなく二通り書いてくれたらありがたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．積分順序の変更は１つの大きなテーマになりますので，その次の頁に書いてあります．