最大角，最小角

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「三角比と図形」（正弦定理，余弦定理など）について，このサイトには次の教材があります．
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↓正弦定理（解説）
↓正弦定理（問題）
↓分数型の方程式

↓余弦定理（解説）
↓三辺→角
↓余弦定理の2次方程式

↓筆算だけで解く問題(1)
↓筆算だけで解く問題(2)
↓最大角・最小角

↓ヘロンの公式
↓内接円の半径

↓形状問題
↓証明問題

↓三角形を解く
↓センター問題(1)
↓センター問題(2)
センター問題(3)

== 最大角，最小角 ==

《解説》
■右図のような△ＡＢＣにおいて，

a≧b≧cならばA≧B≧C

です.
（逆も成り立ちます.）

つまり，

「対辺が長い」ならば「角度が大きい」
（「角度が大きい」ならば「対辺が長い」）

といえます.・・・(1)

(証明)・・余弦定理による証明・・・論理は簡単，変形はやや複雑
(方針)ａ≦ｂ←→cosＡ≧cosB←→A≦Bを示す.
cosＡ-cosB

＝｛a(b²+c²-a²)-b(a²+c²-b²)｝
＝｛c²(a-b)+a(b²-a²)-b(a²-b²)｝
＝｛c²(a-b)-(a²-b²)(a+b)｝
＝｛c²(a-b)-(a-b)(a+b)²｝
＝(a-b)(c²-(a+b)²)
＝(a-b)(c-a-b)(c+a+b)
ここで，ａ，ｂ，ｃ＞0だからｃ＋ａ＋ｂ＞0
また，三角形の成立条件によりｃ＜ａ＋ｂだからc-a-b<0
ゆえに，ａ≦ｂ←→cosＡ≧cosB←→Ａ≦Ｂ

(別の証明)・・正弦定理による証明・・論理は複雑，変形は少ない
(方針)ａ≦ｂ←→sinＡ≦sinB←→A≦Bを示す.
正弦定理により，ａ＝２ＲｓｉｎＡ，ｂ＝２ＲｓｉｎＢだから
ａ≦ｂ←→sinＡ≦ｓｉｎＢが言える.
０°＜Ａ,Ｂ＜180°においてsinＡ≦ｓｉｎＢとなる組合せは次の通り.

1)　A₁	B₁	→　Ａ≦Ｂ
2)　A₁	B₂	→　Ａ≦Ｂ
3)　A₂	B₁	*→(1)によりこのような三角形はない**
4)　A₂	B₂	*→(2)によりこのような三角形はない**

(*1)Ａ₂≧β，Ｂ₁≧αだからＡ₂+Ｂ₁≧α+β＝180°
　となり矛盾
(*2)Ａ₂+Ｂ₂≧90°+90°＝180°となり矛盾
1)2)よりＡ≦Ｂ

　△ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃのうち最も大ききな角度を最大角，最も小さな角を最小角と呼ぶと，上の図においては最大角はＡで最小角はＣです.
　(1)の関係から，最大角，最小角とその対辺の長さについて次のように言えます.

三角形において，最大角には最大辺が対応する.

三角形において，最小角には最小辺が対応する.

例
　三角形の３辺の長さが，７，８，１３　のとき，この三角形の最大角を求めなさい.
（答案）
　辺の長さ13が最も長いから，13に対応する角を求める.
　cosθ＝(7²+8²-13²)/(2・7・8)＝-1/2
　θ＝120°・・・(答)

《問題1》　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形の最大角を求めなさい.
(1) 　１７，１５，８	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

(2) 　５，１６，１９	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

(3) 　３５，４３，１３	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

(4) 　 $1$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{5}$	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

《問題２》　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形の最小角を求めなさい.
(1) 　 $3 \sqrt{3}$ ， $\sqrt{7}$ ， $4$	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

(2) 　 $3 + \sqrt{3}$ , $2 \sqrt{3}$ , $3 \sqrt{2}$	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

《解説》
　筆算で角度まで求められるのは，30°または45°の整数倍の角度に限られますが，cosθの値まででよいときはそのような制限はなくなります.
例
　　三角形の３辺の長さが，次のように与えられているとき，この三角形について最大角の余弦を求めなさい.
　　ａ＝９，ｂ＝８，ｃ＝７
(答案)
　ａが最大なので，Ａが最大
　cosＡ＝（８²+7²-９²）/（２・８・７）＝2/7・・・（答）

《問題３》 1 　△ＡＢＣにおいて，sinＡ：sinＢ：sinC＝５：６：７とする.最大角をθとするとき，cosθ＝［　　］である. （日本工大入試問題からの引用）	左の空欄を埋めると， $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{4}{5}$

2 　三角形の３つの高さを各々４，９，６とするとき，最小角の余弦は.	左の空欄を埋めると， $\frac{5}{13}$ $\frac{14}{27}$ $\frac{29}{54}$ $\frac{101}{108}$

3 　△ＡＢＣの３辺がＢＣ＝ｘ²-ｘ+1，ＣＡ＝x²-2x，AB=2ｘ-1で表されている. (1)　３つの辺の大小関係を調べよ. (1) (備考) 三角形の成立条件　ａ＞0・・・(1) 　ｂ＞0・・・(2) 　ｃ＞0・・・(3) 　ａ＋ｂ＞ｃ・・・(4) 　ｂ＋ｃ＞ａ・・・(5) 　ｃ＋ａ＞ｂ・・・(6) のうち，(4)(5)(6)から(1)(2)(3)が導かれるので，（例えば(4)(5)の辺々を加えるとｃ＞0となり(3)を得るなど）三角形の成立条件としては(4)(5)(6)で必要十分です. 　三角形の成立条件より（ｘ²-ｘ+1）＋（x²-2x）＞（2ｘ-1）・・<1> （x²-2x）＋（2ｘ-1）＞（ｘ²-ｘ+1）・・<2> （2ｘ-1）＋（ｘ²-ｘ+1）＞（x²-2x）・・<3> <1><2><3>よりｘ＞2 このとき， (ｘ²-ｘ+1)-(x²-2x)＝ｘ＋1＞0 （x²-2x）-（2ｘ-1）＝x²-4x+1の符号から　２＜ｘ＜２＋√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）　２＋√3＜ｘのとき（2ｘ-1）＜（x²-2x）（ｘ²-ｘ+1）-（2ｘ-1）＝ｘ2-3ｘ+2＝(ｘ-1)(ｘ-2)＞0 以上より 2＜ｘ＜2+√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）＜（ｘ²-ｘ+1）ｘ＝2+√3のとき（x²-2x）＜（2ｘ-1）＝（ｘ²-ｘ+1） 2＋√3＜ｘのとき（2ｘ-1）＜（x²-2x）＜（ｘ²-ｘ+1） (2)　△ＡＢＣの最大の内角はいくらか. （静岡大入試問題からの一部引用） 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

4 　３辺の長さがx²+2x+4，x²-4，4x+4である三角形の最大角を求めよ. （桃山学院大学入試問題からの引用）	30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°

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