《問題３》
1
△ＡＢＣにおいて，sinＡ：sinＢ：sinC＝５：６：７とする.最大角をθとするとき，cosθ＝［ ］である.
（日本工大入試問題からの引用）
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左の空欄を の形で埋めると，
ア＝，イ＝
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2
三角形の３つの高さを各々４，９，６とするとき，最小角の余弦は. |
ア＝，イ＝
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3
△ABCの３辺がBC＝ｘ2-ｘ+1，CA＝x2-2x，AB=2ｘ-1で表されている.
(1) ３つの辺の大小関係を調べよ.
(2) △ABCの最大の内角はいくらか.
（静岡大入試問題からの一部引用）
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(1)
三角形の成立条件より
(ｘ2-ｘ+1)＋(x2-2x)＞(2ｘ-1)…<1>
(x2-2x)＋(2ｘ-1)＞(ｘ2-ｘ+1)…<2>
(2ｘ-1)＋(ｘ2-ｘ+1)＞(x2-2x)…<3>
<1><2><3>よりｘ＞2
このとき，
(ｘ2-ｘ+1)-(x2-2x)＝ｘ＋1＞0
(x2-2x)-(2ｘ-1)＝x2-4x+1の符号から
２＜ｘ＜２＋√3のとき
(x2-2x)＜(2ｘ-1)
２＋√3＜ｘのとき
(2ｘ-1)＜(x2-2x)
(ｘ2-ｘ+1)-(2ｘ-1)＝ｘ2-3ｘ+2＝(ｘ-1)(ｘ-2)＞0
以上より
2＜ｘ＜2+√3のとき
(x2-2x)＜(2ｘ-1)＜(ｘ2-ｘ+1)
ｘ＝2+√3のとき
(x2-2x)＝(2ｘ-1)＜(ｘ2-ｘ+1)
2＋√3＜ｘのとき
(2ｘ-1)＜(x2-2x)＜(ｘ2-ｘ+1)
(2)
°
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(備考)
三角形の成立条件
ａ＞0…・(1)
ｂ＞0…(2)
ｃ＞0…(3)
ａ＋ｂ＞ｃ…(4)
ｂ＋ｃ＞ａ…(5)
ｃ＋ａ＞ｂ…(6)
のうち，(4)(5)(6)から(1)(2)(3)が導かれるので，（例えば(4)(5)の辺々を加えるとｃ＞0となり(3)を得るなど）
三角形の成立条件としては(4)(5)(6)で必要十分です.
(1)の結果からどの場合でもa=x2−x+1が最大辺になる
cosA= . (x2−2x)2+(2x−1)2−(x2−x+1)22(x2−2x)(2x−1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
= （分子を展開してから因数分解する）
=.−_x(2x−1)(x−2)2(x2−2x)(2x−1)nnnnnnnnnnnnnn=−.12n⇒A=120°
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4
３辺の長さがx2+2x+4，x2-4，4x+4である三角形の最大角を求めよ.
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°
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a=x2+2x+4 , b=x2−4 , c=4x+4とおく
はじめに三角形の成立条件からxの取りうる値の範囲を求める
a+b>c , b+c>a , c+a>bから…（長い計算があって）…x>2…(1)
このとき
a−b=x2+2x+4−(x2−4)=2x+8>0
a−c=x2+2x+4−(4x+4)=x2−2x=x(x−2)>0
だからa>b, a>c ⇒ a=x2+2x+4が最大辺になる…(2)
cosA= .(x2−4)2+(4x+4)2−(x2+2x+4)22(x2−4)(4x+4)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
… （分母分子を展開してから因数分解する）…
= .−_4(x2−4)(x+1)2(x2−4)(4x+4)nnnnnnnnnnnnnn= − .12n
⇒ A=120°
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｛a(b2+c2-a2)-b(a2+c2-b2)｝
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