...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　 が現在地です．

↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

【ポイント１】
なるべく軽い変形を考える

引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

[1]
放物線y=−x2+6x+3の頂点の座標は（ア，イ）である．

解説 やり直す

(−3,−6) (−3,9) (3,−6) (3,12) (6,9)

[2]
放物線y=2x2+ax+bの頂点の座標が（1, 3）であるとき，
a=，b=である．

解説 やり直す

a=4, b=5 a=4, b=−5 a=−4, b=5 a=−4, b=−5

y=2(x−1)2+3
とおけるから
y=2(x2−2x+1)+3
=2x2−4x+5
a=−4, b=5
（別解）
$y=2(x^2+{\displaystyle \frac{a}{2}}x)+b=2\{(x+{\displaystyle \frac{a}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{a^2}{16}}\}+b$
$=2(x+{\displaystyle \frac{a}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{a^2}{8}}+b$
$-{\displaystyle \frac{a}{4}}=1$…(*1)
$-{\displaystyle \frac{a^2}{8}}+b=3$…(*2)
(*1)よりa=−4
これを(*2)に代入するとb=5

【ポイント２】
2次関数（放物線）の移動は，頂点の移動で捉えられる．

[1]
２次関数y=−x2+2x+3のグラフを原点に関して対称に移動し，さらにx軸方向にa，y軸方向にb平行移動すると頂点の座標が(1, 1)となった．このときa=セ，b=ソである．

解説 やり直す

a=2, b=3 a=2, b=5 a=4, b=3 a=4, b=5

y=−x2+2x+3=−(x2−2x)+3
=−{(x−1)2−1}+3
=−(x−1)2+4 …(*1)
の頂点は(1, 4)
原点に対称に移動すると，頂点は(−1, −4)で凹凸は逆になるから
y=(x+1)2−4 …(*2)
平行移動して頂点を(1, 1)になるようにすると
y=(x−1)2+1 …(*3)
(*2)から(*3)に移動するには，x軸方向に2，y軸方向に5平行移動
※y=f(x)の「グラフを」点対称移動，平行移動したグラフの方程式を求める公式もあるが，この問題のような2次関数の移動は「頂点の移動」と「凹凸の形」で考える方が簡単になる．

[2]
　２次関数y=−2x2−2x−3のグラフをx軸に平行に
アイ，y軸に平行にウ移動すると，２次関数y=−2x2−6x−5のグラフになる．

解説 やり直す

x軸方向に1，y軸方向に2 x軸方向に1，y軸方向に−2 x軸方向に−1，y軸方向に2 x軸方向に−1，y軸方向に−2

$y=-2x^2-2x-3=-2(x^2+x)-3$
$=-2\{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\}-3=-2(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-3$
$=-2(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}$
このグラフの頂点の座標は$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{5}{2}})$…(*1)
$y=-2x^2-6x-5=-2(x^2+3x)-5$
$=-2\{(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}\}-5=-2(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{9}{2}}-5$
$=-2(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
このグラフの頂点の座標は$(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$…(*2)
したがって，(*1)から(*2)へx軸方向に−1，y軸方向に2平行移動

[3]
　座標平面上に２つの放物線C1:y=2x2−4x+3とC2:y=−2x2+5x−6がある．C1を原点に関して対称移動した放物線をC3とする．C2はどのように平行移動するとC3に重なるか．

解説 やり直す

x軸方向に$-{\displaystyle \frac{9}{4}}$，y軸方向に${\displaystyle \frac{15}{8}}$ x軸方向に${\displaystyle \frac{9}{4}}$，y軸方向に$-{\displaystyle \frac{31}{8}}$ x軸方向に$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$，y軸方向に${\displaystyle \frac{31}{8}}$ x軸方向に${\displaystyle \frac{1}{4}}$，y軸方向に$-{\displaystyle \frac{15}{8}}$

$C_1:y=2(x^2-2x)+3$
$=2\{(x-1{)}^2-1\}+3$
$=2(x-1{)}^2+1$
このグラフの頂点の座標は(1, 1)で，x2の係数は2（下に凸）…(*1)
C3は頂点の座標が(−1, −1)で，x2の係数は−2（上に凸）…(*2)
$C_2:y=-2(x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x)-6$
$=-2\{(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\}-6$
$=-2(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2+{\displaystyle \frac{25}{8}}-6$
$=-2(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{23}{8}}$
このグラフの頂点の座標は$({\displaystyle \frac{5}{4}},-{\displaystyle \frac{23}{8}})$ で，x2の係数は−2（上に凸）…(*3)
C2からC3へは
x軸方向に$-1-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$
y軸方向に$-1-(-{\displaystyle \frac{23}{8}})={\displaystyle \frac{15}{8}}$の平行移動となる

【ポイント３】
x軸と接する条件は
（Ⅰ）　数学Ⅰの知識だけで調べるには （Ⅱ）　数学Ⅱも習った後では

[1]
２次関数y=x2+px+pのグラフがx軸に接するとき，pはアまたはイとなる．

解説 やり直す

0, 2 0, −4 0, 4 −2, 2 −4, 4

（数学Ⅰの範囲で頂点のy座標を使う場合）
$y=(x+{\displaystyle \frac{p}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{p^2}{4}}+p$
の頂点のy座標は
$-{\displaystyle \frac{p^2}{4}}+p$
だから
$-{\displaystyle \frac{p^2}{4}}+p=0$
$-p^2+4p=0$
$p^2-4p=0$
$p(p-4)=0$
$p=0,4$
（判別式を使う場合）
D=p2−4p=0
p(p−4)=0
p=0, 4

[2]
y=x2+px+q (pq≠0)のグラフが点(1, 1)を通り，x軸に接するとき，
p=ウ，q=エである．

解説 やり直す

0, 2 0, −4 0, 4 −2, 2 −4, 4

（数学Ⅰの範囲で頂点のy座標を使う場合）
(1, 1)を通るから
1=1+p+q
q=−p
このとき
$y=x^2+px-p=(x+{\displaystyle \frac{p}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{p^2}{4}}-p$
の頂点のy座標は
$-{\displaystyle \frac{p^2}{4}}-p$
だから
$-{\displaystyle \frac{p^2}{4}}-p=0$
$-p^2-4p=0$
$p^2+4p=0$
$p(p+4)=0$
$p=0,-4$
p, q≠0だからp=−4
このとき，q=4 （判別式を使う場合）
(1, 1)を通るから
1=1+p+q
q=−p
y=x2+px−pについて
D=p2+4p=0
p(p+4)=0
p=0, −4
p, q≠0だからp=−4
このとき，q=4