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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「円の方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓円の方程式
↓同(2)
↓同(3)
↓円の接線の方程式
↓同(2)
↓円と直線の位置関係
↓２円の交点を通る円・直線の方程式
↓円と直線の位置関係（まとめ）
図形と方程式（センター問題 2013年～）

【中心が(a, b)で半径がrの円の方程式】
(x−a)2+(y−b)2=r2･･･(#1)
【円の方程式の一般形】
x2+y2+ax+by+c=0･･･(#2)

【例題1】
　３点A(4, 4), B(0, 2),C(6, 0)を通る円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

•初心者がよくやる間違い

16+16+4x+4y+c=0
などと書いてしまう ##
•x, yに数字を代入しているのだから，x, yは残らない。a, bが残る．

【問題1-1】
　３点A(3,−1), B(−5, 5),C(−4,−2)を通る円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

求める円の方程式を
x2+y2+ax+by+c=0･･･(1)
とおく．
(1)が点A(3, −1)を通るから
9+1+3a−b+c=0
10+3a−b+c=0･･･(2)
(1)が点B(−5, 5)を通るから
25+25−5a+5b+c=0
50−5a+5b+c=0･･･(3)
(1)が点C(−4,−2)を通るから
16+4−4a−2b+c=0
20−4a−2b+c=0･･･(4)
cを消去して２文字にする：
(2)−(3)
−40+8a−6b=0
4a−3b=20･･･(5)
(3)−(4)
30−a+7b=0
a=7b+30･･･(6)
(6)を(5)に代入
4(7b+30)−3b=20
25b=−100
b=−4･･･(7)
(7)を(6)に代入
a=2･･･(8)
(7)(8)を(2)に代入
c=−20･･･(9)
x2+y2+2x−4y−20=0･･･（答）
平方完成の変形を行うと，(x+1)2+(y−2)2=25になるから，中心の座標が(−1, 2)で半径が5の円･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-2】
　３点A(3, 5), B(−1, −1),C(4, 4)を通る円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

求める円の方程式を
x2+y2+ax+by+c=0･･･(1)
とおく．
(1)が点A(3, 5)を通るから
9+25+3a+5b+c=0
34+3a+5b+c=0･･･(2)
(1)が点B(−1, −1)を通るから
1+1−a−b+c=0
2−a−b+c=0･･･(3)
(1)が点C(4, 4)を通るから
16+16+4a+4b+c=0
32+4a+4b+c=0･･･(4)
cを消去して２文字にする：
(2)−(3)
32+4a+6b=0
2a+3b=−16･･･(5)
(3)−(4)
−30−5a−5b=0
a+b=−6･･･(6)
(5)−(6)×2
b=−4･･･(7)
(7)を(6)に代入
a=−2･･･(8)
(7)(8)を(2)に代入
c=−8･･･(9)
x2+y2−2x−4y−8=0･･･（答）
平方完成の変形を行うと，(x−1)2+(y−2)2=13になるから，中心の座標が(1, 2)で半径が$\sqrt{13}$の円･･･（答） →解説を隠す←

【２定点A(x1, y1), B(x2, y2)を直径の両端とする円の方程式】
(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0･･･(#3)

【例題2】
　2点A(5, 0), B(−1, 2)を直径の両端とする円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

【問題2-1】
　2点A(−1, 3), B(5, −1)を直径の両端とする円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

　求める円の中心は，2点A, Bの中点Mと一致する．中点の座標は
$({\displaystyle \frac{-1+5}{2}},{\displaystyle \frac{3-1}{2}})=(2,1)$
　直径の長さはABで半径の長さはAMに等しい
$r=\sqrt{(2+1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{13}$
　中心の座標はM(2, 1)，半径は$\sqrt{13}$･･･（答）
　円の方程式は
$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=13$･･･（答） （別解）･･･(#3)の公式を使う
(x+1)(x−5)+(y−3)(y+1)=0 x2+y2−4x−2y−8=0･･･（答）
(x−2)2+(y−1)2=13だから，中心M(2, 1)，半径$\sqrt{13}$の円･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2-2】
　2点A(−2, 5), B(4, −3)を直径の両端とする円の方程式を求めてください．また，この円の中心の座標と半径も求めてください．

　求める円の中心は，2点A, Bの中点Mと一致する．中点の座標は
$({\displaystyle \frac{-2+4}{2}},{\displaystyle \frac{5-3}{2}})=(1,1)$
　直径の長さはABで半径の長さはAMに等しい
$r=\sqrt{(1+2{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$
　中心の座標はM(1, 1)，半径は5･･･（答）
　円の方程式は
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25$･･･（答） （別解）･･･(#3)の公式を使う
(x+2)(x−4)+(y−5)(y+3)=0 x2+y2−2x−2y−23=0･･･（答）
(x−1)2+(y−1)2=25だから，中心M(1, 1)，半径5の円･･･（答）
→解説を隠す←

【例題3】
(1) 中心が(2,−3)で，x軸に接する円の方程式を求めてください．
(2) 中心が(−3, 4)で，y軸に接する円の方程式を求めてください．
(3) 2点(1, 5), (2, 6)を通り，y軸に接する円の方程式を求めてください．
(4) 点(1, −2)を通り，x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めてください．

(1)(2)は図で考えると簡単

【問題3-1】
(1) 中心が(−3, 4)で，x軸に接する円の方程式を求めてください．
(2) 中心が(−1, −2)で，y軸に接する円の方程式を求めてください．
(3) 2点(−1, 2), (0, 1)を通り，x軸に接する円の方程式を求めてください．
(4) 点(−2, 1)を通り，x軸とy軸の両方に接する円の方程式を求めてください．

(1)
中心のy座標の絶対値は半径に等しいから，円の方程式は
$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=16$･･･（答）
(2)
中心のx座標の絶対値は半径に等しいから，円の方程式は
$(x+1{)}^2+(y+2{)}^2=1$･･･（答）
(3)
x軸よりも上にある点を通り，x軸に接する円だから，中心のy座標は半径に等しい．
$(x-a{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$
とおける．
(−1, 2)を通るから
$(-1-a{)}^2+(2-r{)}^2=r^2$
$a^2+2a+5-4r=0$･･･①
(0, 1)を通るから
$(-a{)}^2+(1-r{)}^2=r^2$
$a^2+1-2r=0$･･･②
①②を未知数r, aに関する連立方程式として解く
r=1, a=−1より
$(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=1$･･･（答）
r=5, a=3より
$(x-3{)}^2+(y-5{)}^2=25$･･･（答）
(4)
中心は第2象限にあるから，円の方程式は
$(x+r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$
とおける．この円が点(−2, 1)を通るから
$(-2+r{)}^2+(1-r{)}^2=r^2$
$r^2-6r+5=0$
$(r-1)(r-5)=0$
ア） r=1のとき
$(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=1$･･･（答）
イ） r=5のとき
$(x+5{)}^2+(y-5{)}^2=25$･･･（答）
→解説を隠す←

【例題4】
　３直線2x−3y+7=0, x+5y−3=0, 5x−y−15=0で囲まれた三角形の外接円の方程式を求めてください．

• 直線の交点を３つ求めて，３点を通る円の方程式として解くとよい．この方法は地味で計算量が多いが，着実にできる．
• 後で述べる参考答案のように，3直線から直接に円の方程式を求めることもできそうだが，考え方が難しく，計算も簡単ではない．（メリットは「目が覚める」ことだけ）

※この答案は，今までに他で見たことはなく，独自に作ったものなので，解き方が試験に出る可能性はありません．高校レベルで証明できますが，納得できるものか，使えるものかを読者自身が確かめてください．

• (1)(2), (2)(3), (3)(1)の交点を通る．
• ①②の条件を満たすようにh, kを定めることができる．
このとき(**1)は(1)(2), (2)(3), (3)(1)の交点を通る円の方程式を表す．

【問題4-1】
　３直線x+3y+4=0, 7x+y+8=0, 2x+y−2=0で囲まれた三角形の外接円の方程式を求めてください．

x+3y+4=0･･･(1)，7x+y+8=0･･･(2)，2x+y−2=0･･･(3)とする．
連立方程式(1)(2)から交点を求めると，A(−1, −1)
連立方程式(2)(3)から交点を求めると，B(−2, 6)
連立方程式(3)(1)から交点を求めると，C(2, −2)
　これらの3点A, B, Cを通る円の方程式を
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
とおく．
Aを通るから
$1+1-a-b+c=0$･･･(4)
Bを通るから
$4+36-2a+6b+c=0$･･･(5)
Cを通るから
$4+4+2a-2b+c=0$･･･(6)
(4)(5)(6)の連立方程式を解くと，a=−4, b=−6, c=−12
$x^2+y^2-4x-6y-12=0$･･･（答）
（別解）
(x+3y+4)(7x+y+8)+h(7x+y+8)(2x+y−2)
+k(2x+y−2)(x+3y+4)=0･･･(**1)
とおく
(**1)において
x2の係数は，7+14h+2k
y2の係数は，3+h+3k
xyの係数は，22+9h+7k
そこで
7+14h+2k=3+h+3k
22+9h+7k=0
を解くと，$h=-{\displaystyle \frac{1}{2}},k=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$となるから，求める円の方程式は
2(x+3y+4)(7x+y+8)−(7x+y+8)(2x+y−2)
−5(2x+y−2)(x+3y+4)=0
とおける．これを展開すると
$-10x^2-10y^2+40x+60y+120=0$
$x^2+y^2-4x-6y-12=0$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-2】
　３直線4x+3y−1=0, 7x−y−8=0, x+7y−44=0で囲まれた三角形の外接円の方程式を求めてください．

4x+3y−1=0･･･(1)，7x−y−8=0･･･(2)，x+7y−44=0･･･(3)とする．
連立方程式(1)(2)から交点を求めると，A(1, −1)
連立方程式(2)(3)から交点を求めると，B(2, 6)
連立方程式(3)(1)から交点を求めると，C(−5, 7)
　これらの3点A, B, Cを通る円の方程式を
$x^2+y^2+ax+by+c=0$
とおく．
Aを通るから
$1+1+a-b+c=0$･･･(4)
Bを通るから
$4+36+2a+6b+c=0$･･･(5)
Cを通るから
$25+49-5a+7b+c=0$･･･(6)
(4)(5)(6)の連立方程式を解くと，a=4, b=−6, c=−12
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$･･･（答）
（別解）
(4x+3y−1)(7x−y−8)+h(7x−y−8)(x+7y−44)
+k(x+7y−44)(4x+3y−1)=0･･･(**1)
とおく
(**1)において
x2の係数は，28+7h+4k
y2の係数は，−3−7h+21k
xyの係数は，17+48h+31k
そこで
28+7h+4k=−3−7h+21k
17+48h+31k=0
を解くと，h=−1, k=1となるから，求める円の方程式は
(4x+3y−1)(7x−y−8)−(7x−y−8)(x+7y−44)
+(x+7y−44)(4x+3y−1)=0
とおける．これを展開すると
$25x^2+25y^2+100x-150y-300=0$
$x^2+y^2+4x-6y-12=0$･･･（答）
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【例題5】
　中心が直線y=2x+1上にあり，原点O(0, 0)と点P(−2, 4)を通る円の方程式を求めてください．

【問題5-1】
　中心が直線2x−y=1上にあり，２点(−2, −3), (4, 5)を通る円の方程式を求めてください．

求める円の方程式を
$(x-p{)}^2+(y-2p+1{)}^2=r^2$･･･(1)
とおく．
(1)が(−2, −3)を通るから
$(-2-p{)}^2+(-3-2p+1{)}^2=r^2$
$p^2+4p+4+4p^2+8p+4=r^2$
$5p^2+12p+8=r^2$･･･(2)
(1)が(4, 5)を通るから
$(4-p{)}^2+(5-2p+1{)}^2=r^2$
$5p^2-32p+52=r^2$･･･(3)
(2)−(3)
44p=44
(2)に戻すと
r=5 (>0)
以上から
$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25$･･･（答）
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【問題5-2】
中心が直線2x−3y+3=0上にあり,２点(2, 1), (5, 4)を通る円の方程式を求めてください．

求める円の方程式を
$(x-p{)}^2+(y-q{)}^2=r^2$･･･(1)
とおく．
円の中心が直線2x−3y+3=0上にあるから
2p−3q+3=0･･･(2)
(1)が(2, 1)を通るから
$(2-p{)}^2+(1-q{)}^2=r^2$
$p^2-4p+4+q^2-2q+1=r^2$･･･(3)
(1)が(5, 4)を通るから
$(5-p{)}^2+(4-q{)}^2=r^2$
$p^2-10p+25+q^2-8q+16=r^2$･･･(4)
(3)−(4)
6p+6q−36=0
p+q−6=0･･･(5)
(2)−(5)×2
−5q+15=0
q=3
(2)(3)に戻すと
$p=3,r=\sqrt{5}(>0)$
以上から
$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=5$･･･（答）
→解説を隠す←