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log xに関する不定積分
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cos xに関する不定積分≪一覧≫
sin x, cos xに関する不定積分
tan x, cot xに関する不定積分
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回転体の体積
三角関数の定積分
定積で定まる定数
複素積分，留数定理，フレネル積分

【tanx, cotxに関する不定積分】
○［∫wn.f’(x)f(x)nnnn dx → log|f(x)|+C］
∫wntanx dx=−log|cosx|+C…(*4.1)
∫wncotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)
∫wn.1+tanx1−tanxnnnnnndx=−log|cosx−sinx|+C…(*4.3)
∫wn.1+tan2x1−tan2xnnnnnnnndx=.12n|.1+tanx1−tanxnnnnnnnn|+C…(*4.4)
○［(tan x)’=.1cos2xnnnnn → ∫wn.dxcos2xnnnn=tanx］
∫wntan2x dx=tanx−x+C…(*4.5)
∫wntan3x dx=.12ntan2x+log|cosx|+C…(*4.6)
∫wntan4x dx=.13ntan3x−tanx+x+C…(*4.7)
○［(cot x)’=−.1sin2xnnnnn → ∫wn.dxsin2xnnnn=−cotx］
∫wncot2x dx=−cotx−x+C…(*4.8)
∫wncot3x dx=−.12ncot2x−log|sinx|+C…(*4.9)
∫wncot4x dx=−.13ncot3x+cotx+x+C…(*4.10)
○［部分積分を行うもの］
∫wnx tan2x dx=−.12nx2+xtanx+log|cosx|+C…(*4.11)
○［部分積分で漸化式を作って次数を下げていくもの］
In=∫wntannx dx (n≧2)とおくと
In=.1n−1nnntann−1x−In−2…(*4.12)
※この漸化式から一般項を求めようとせずに，
I0→I2→I4→...
I1→I3→I5→...
と順次求めるために使う．
（解説）
(*4.1)(*4.2)←
被積分関数の分子が分母の微分になっているとき
すなわち∫wn.f’(x)f(x)nnnn dxの形の不定積分は
f(x)=tとおく置換積分により，.dtdxnn=f’(x) → dx=.dtf’(x)nnnn
∫wn.f’(x)f(x)nnnn dx=∫wn.f’(x)tnnnn.dtf’(x)nnnn=∫wn.dttnn=log|t|+C
したがって
∫wn.f’(x)f(x)nnnn dx=log|f(x)|+C
となって，直ちに不定積分が求められます．
　これにより
∫wntanx dx=∫wn.sinxcosxnnnndx=−∫wn.(cosx)’cosxnnnnnndx
=−log|cosx|+C…(*4.1)
∫wncotx dx=∫wn.cosxsinxnnnndx=∫wn.(sinx)’sinxnnnnnndx
=log|sinx|+C…(*4.2)
※習う生徒と習わない生徒がいて，よく質問がある記号
…(A)
…(B)
…(C)
(A)～(C)については，３文字目の逆数と覚えるとよい
(コセカントx)　cosec x → 1/sin x
(セカントx)　sec x → 1/cos x
(コタンジェントx)　cot x → 1/tan x
(*4.3)←
.1+tanx1−tanxnnnnnn=.1+.sinxcosxnnnn1−.sinxcosxnnnnnnnnnn=.cosx+sinxcosx−sinxnnnnnnnnn=−.(cosx−sinx)’cosx−sinxnnnnnnnnnnn
分子が分母の微分になっているから
∫wn.1+tanx1−tanxnnnnnndx=−log|cosx−sinx|+C
(*4.4)←
三角関数の相互関係から
1+tan2x=.1cos2xnnnnだから
∫wn.1+tan2x1−tan2xnnnnnnndx=∫wn.11−tan2xnnnnnnn.1cos2xnnnndx=Iとおく
ここで，tanx=tとおく置換積分を行うと，.dtdxnn=.1cos2xnnnnだから
I=∫wn.11−t2nnnn.1cos2xnnnncos2x dt=−∫wn.1t2−1nnnndt
=−.12n∫wn(.1t−1nnn−.1t+1nnn)dt=−.12n(log|t−1|−log|t+1|)+C
=−.12nlog|.t−1t+1nnn|+C=.12nlog|.t+1t−1nnn|+C=.12n|.1+tanx1−tanxnnnnnn|+C
(*4.5)←
∫wntan2x dx=∫wn.sin2xcos2xnnnndx=∫wn.1−cos2xcos2xnnnnnndx
=∫wn(.1cos2xnnnn−1)dx=tanx−x+C
(*4.6)←
∫wntan3x dx=∫wntan2xtanx dx=∫wn(.1cos2xnnnn−1)tanx dx
=∫wntanx.1cos2xnnnndx−∫wntanx dx
第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，.dtdxnn=.1cos2xnnnnだから
∫wnt .1cos2xnnnncos2x dt=∫wnt dt=.12nt2+C’=.12ntan2x+C’
第２項は，上記の通り−log|cosx|+C”となるから
∫wntan3x dx=.12ntan2x+log|cosx|+C
(*4.7)←
∫wntan4x dx=∫wntan2x tan2x dx=∫wntan2x(.1cos2xnnnn−1)dx
=∫wntan2x.1cos2xnnnndx−∫wntan2x dx
第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，.dtdxnn=.1cos2xnnnnだから
∫wnt2.1cos2xnnnncos2x dt=∫wnt2 dt=.13nt3+C’=.13ntan3x+C’
第２項は，上記の通りtanx−x+C”となるから
∫wntan4x dx=.13ntan3x−tanx+x+C
(*4.8)←
∫wncot2x dx=∫wn.cos2xsin2xnnnndx=∫wn.1−sin2xsin2xnnnnnndx
=∫wn(.1sin2xnnnn−1)dx=−cotx−x+C
(*4.9)←
∫wncot3x dx=∫wncot2xcotx dx=∫wn(.1sin2xnnnn−1)cotx dx
=∫wncotx.1sin2xnnnndx−∫wncotx dx
第１項は，cotx=tとおく置換積分を行うと，.dtdxnn=−.1sin2xnnnnだから
−∫wnt .1sin2xnnnnsin2x dx=−∫wnt dt=−.12nt2+C’=−.12ncot2x+C’
第２項は，上記の通り−log|sinx|+C”となるから
∫wncot3x dx=−.12ncot2x−log|sinx|+C
(*4.10)←
∫wncot4x dx=∫wncot2x cot2x dx=∫wncot2x(.1sin2xnnnn−1)dx
=∫wncot2x.1sin2xnnnndx−∫wncot2x dx
第１項は，cotx=tとおく置換積分を行うと，.dtdxnn=−.1sin2xnnnnだから
−∫wnt2.1sin2xnnnnsin2x dt=−∫wnt2 dt=−.13nt3+C’=−.13ncot3x+C’
第２項は，上記の通り−cotx−x+C”となるから
∫wncot4x dx=−.13ncot3x+cotx+x+C
(*4.11)←
∫wnx tan2x dx=Iとおく
f(x)=xf’(x)=1
g’(x)=tan2xg(x)=tanx−x
I=x(tanx−x)−∫wn(tanx−x)dx
=xtanx−x2−∫wntanx+.12nx2
上記の(*4.1)の結果から
∫wntanx dx=−log|cosx|+Cだから
I=−.12nx2+xtanx+log|cosx|+C
(*4.12)←
In=∫wntannx dx=∫wntann−2x tan2x dx
=∫wntann−2x(.1cos2xnnnn−1)dx=∫wntann−2x.1cos2xnnnndx−In−2
第１項は，tanx=tとおく置換積分を行うと，.dtdxnn=.1cos2xnnnnだから
∫wntn−2.1cos2xnnnncos2x dt
=∫wntn−2 dt=.1n−1nnntn−1+C=.1n−1nnntann−1x+C
となるから
In=.1n−1nnntann−1x−In−2
［例］
I0=∫wntan0x dx=∫wn dx=x+C
I2=.11ntan1x−I0=tanx−x+C
I4=.13ntan3x−I2=.13ntan3x−(tanx−x)+C
=.13ntan3x−tanx+x+C
I1=∫wntan1x dx=−log|cosx|+C
I3=.12ntan2x−I1=.12ntan2x+log|cosx|+C
I5=.14ntan4x−I3=.14ntan4x−(.12ntan2x+log|cosx|)+C
=.14ntan4x−.12ntan2x−log|cosx|+C
なお，負の値に対して，I−n=∫wntan−nx dx=∫wncotnx dx=Jn
を求めるためには，この漸化式を逆向きに使えばよい．上記の証明は，n<0のときでも成り立つから．（ただし,ここでは負の指数は逆三角関数ではなく，逆数（分数）を表すものとする）
In=.1n−1nnntann−1x−In−2
から
In−2=.1n−1nnntann−1x−In
In=.1n+1nnntann+1x−In+2
だから
Jn=I−n=.1−n+1nnnnntan−n+1x−I−n+2=.1−n+1nnnnncotn−1x−Jn−2
［例］
J0=∫wncot0x dx=∫wn dx=x+C
J2=−cotx−J0=−cotx−x+C…(*4.8)
J4=−.13ncot3x−J2=−.13ncot3x+cotx+x+C…(*4.10)
J1=∫wncotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)
J3=−.12ncot2x−J1=−.12ncot2x−log|sinx|+C…(*4.9)
J5=−.14ncot4x−J3=−.14ncot4x+.12ncot2x+log|sinx|+C
　以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号を選択してください．
［問題１］
次の不定積分を求めてください．
.∫wntan2.x2n dx

1tan.x2n−.x2n+C 22tan.x2n−.x2n+C
3.23ntan3.x2n+C 4tan3.x2n−.x2n+C



［問題２］
次の不定積分を求めてください．
.∫wntan.x3n dx

1−.13nlog|cos.x3n|+C 2−log|cos.x3n|+C
3−3log|cos.x3n|+C 4−log|cosx|+C



［問題３］
次の不定積分を求めてください．
.∫wn.dxtanxnnnn
1log|sinx|+C 2−log|sinx|+C
3log|cosx|+C 4−log|cosx|+C



［問題４］
次の不定積分を求めてください．
.∫wncot3x dx
1.12ntan2x+log|cosx|+C
2−.12ncot2x−log|sinx|+C
3−3 cot2x .1sin2xnnnn+C
43 cot2x .1cos2xnnnn+C



［問題５］
次の不定積分を求めてください．
.∫wn.1+tan2x1−tan2xnnnnnnndx
1log|cosx+sinx|+C
2−log|cosx−sinx|+C
3.12n|.1+tanx1−tanxnnnnnn|+C
4.12n|.1−tanx1+tanxnnnnnn|+C



［問題６］
次の不定積分を求めてください．
.∫wncot2x dx
12 log|cos2x|+C
22 log|sin2x|+C
3.12nlog|cos2x|+C
4.12nlog|sin2x|+C



［問題７］
次の不定積分を求めてください．
.∫wnx tan2x dx
1tan3x−x tan2x+x2tanx+C
22xtan3x+tan2x+2xtanx+C
3.12nx2−xtanx−log|sinx|+C
4−.12nx2+xtanx+log|cosx|+C



［問題８］
次の不定積分を求めてください．
.∫wntan4x dx
1.13ntan3x−tanx+x+C
2.12ntan2x+log|cosx|+C
3tanx−x+C
4−.13ncot3x+cotx+x+C



［問題９］
In=∫wntannx dxとおくとき，
次のどの漸化式が成り立ちますか．
1I6=.14ntan4x−I5
2I6=−.14ntan4x−I5
3I6=.15ntan5x−I4
4I6=−.15ntan5x−I4



［問題10］
Jn=∫wncotnx dxとおくとき，
次のどの漸化式が成り立ちますか．
1J5=.14ncot4x−J3
2J5=−.14ncot4x−J3
3J5=.15ncot5x−J4
4J5=−.15ncot5x−J4



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