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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 三角比

○２次以上の三角方程式は，因数分解してsinθ=..., cosθ=...の形にしてから解くのが基本です．

◎次の30°，45°の整数倍の三角比は「必ず言えるように」覚えなければなりません．

A	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sinA	0	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	1	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0

A	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
cosA	1	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	−1

A	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
tanA	0	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$	1	$\sqrt{3}$	なし	$-\sqrt{3}$	−1	$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$	0

◎これらの角度の三角比は「結果を覚えているから」答えられるのです．

【例１】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
${\sin }^2\theta +\sin \theta -2=0$

以下の問題では，各自で計算用紙を使って計算してから，下の選択肢のうちで正しいものをクリックしてください．（暗算では無理でしょう）

【問題１】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
2sin2θ+sinθ−1=0

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

　因数分解して(2sinθ−1)(sinθ+1)=0と変形します．
　これより$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}},-1$
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$よりθ=30°,150°…（答）
　　他方のsinθ=−1からは解は出てこない

【問題２】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
sin2θ=1

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

sin2θ=1すなわちsinθ=±1と変形します
(sinθ−1)(sinθ+1)=0よりsinθ=±1としてもよい．
(1) sinθ=1よりθ=90°…（答）
(2) 他方のsinθ=−1からは0°≦θ≦180°の範囲の解はない

【問題３】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sqrt{3}{\tan }^2\theta -4\tan \theta +\sqrt{3}=0$

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,60° θ=30°,150° θ=60°,120°

根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う（今さらビビッてどうなるのか！＃）
$\sqrt{3}{\tan }^2\theta -4\tan \theta +\sqrt{3}=0$
$\to (\sqrt{3}\tan \theta -1)(\tan \theta -\sqrt{3})=0$と変形します．
これより$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},\sqrt{3}$
$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$よりθ=30°…（答）
$\tan \theta =\sqrt{3}$よりθ=60°…（答）

○ sin2θとcosθが混ざった式では，sin2θ=1−cos2θとして，cosθにそろえます．

sin2θ+cosθ=1
という問題の場合
(1−cos2θ)+cosθ=1
とすればcosθだけの式になります．
${\sin }^2\theta \pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }=1$
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

○cos2θとsinθが混ざった式では，cos2θ=1−sin2θとして，sinθにそろえます．

sinθ+cos2θ=1
という問題の場合
sinθ+(1−sin2θ)=1
とすればsinθだけの式になります．
$\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }+{\cos }^2\theta =1$
などとしてしまうと複雑過ぎて処理できなくなります．

【要点】
sinθとcosθが混ざった式では，１次の方に勝たせる．（２次の方を変形する）

【例２】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
sin2θ+cosθ=1

【問題４】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
2cos2θ+3sinθ=3

θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°
θ=30°,90°,150° θ=45°,90°,135°

cos2θをsinθにそろえます．
2(1−sin2θ)+3sinθ=3
より
2sin2θ−3sinθ+1=0
(2sinθ−1)(sinθ−1)=0
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}},1$
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$よりθ=30°,150°
sinθ=1よりθ=90°
以上からθ=30°,90°,150°…（答）

【問題５】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
4sin2θ+8cosθ−7=0

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

sin2θをcosθにそろえます．
4(1−cos2θ)+8cosθ−7=0
より
4cos2θ−8cosθ+3=0
(2cosθ−1)(2cosθ−3)=0
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}}$
(1)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$よりθ=60°

(2)　他方の$\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{2}}$を満たす解はない
以上により，θ=60°…（答）

【問題６】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2{\cos }^2\theta +3\sqrt{3}\sin \theta -5=0$

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

cos2θをsinθにそろえます．
$2(1-{\sin }^2\theta )+3\sqrt{3}\sin \theta -5=0$
$2{\sin }^2\theta -3\sqrt{3}\sin \theta +3=0$
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う
$(2\sin \theta -\sqrt{3})(\sin \theta -\sqrt{3})=0$
これより$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},\sqrt{3}$
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$よりθ=60°,120°…（答）
他方の$\sin \theta =\sqrt{3}$を満たす解はない

【問題７】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sqrt{2}{\sin }^2\theta +3\cos \theta -2\sqrt{2}=0$

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

sin2θをcosθにそろえます．
$\sqrt{2}(1-{\cos }^2\theta )+3\cos \theta -2\sqrt{2}=0$
$\sqrt{2}{\cos }^2\theta -3\cos \theta +\sqrt{2}=0$
根号があっても，平気で(～♪) たすき掛け因数分解を行う
$(\sqrt{2}\cos \theta -1)(\cos \theta -\sqrt{2})=0$
これより
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},\sqrt{2}$
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$よりθ=45°…（答）
他方の$\cos \theta =\sqrt{2}$を満たす解はない

【問題８】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
${\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

この問題ではsinθをcosθで表してもよいし，その逆でもどちらでもできます．
1−cos2θ=cos2θ
2cos2θ=1
${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\cos \theta =\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
(1)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$からθ=45°
(2)　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$からθ=135°
以上より，θ=45°, 135°
（別解1）
sin2θ=1−sin2θ
2sin2θ=1
${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\sin \theta =\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
(1)　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$からθ=45°,135°
(2)　0°≦θ≦180°には$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$を満たす角はない
以上より，θ=45°,135°
（別解2）
cosθ=0のときはθ=90°⇒ sinθ=1となって，解とはならない．そこで両辺をcos2θ (≠0)で割る．
tan2θ=1
tanθ=±1
(1)　tanθ=1よりθ=45°
(2)　tanθ=−1よりθ=135°

【例３】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
2sinθcosθ+2sinθ−cosθ−1=0

【問題９】
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta -\sin \theta +2\cos \theta -\sqrt{2}=0$

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,120°

※この問題では，sinθもcosθも１次式になっており，どちらかを他方で表すのは無理です．
このまま因数分解します．
根号があっても平気でたすき掛け因数分解を行う．はじめにcosθについて整理する．
$\cos \theta (\sqrt{2}\sin \theta +2)-\sin \theta -\sqrt{2}=0$
$\sqrt{2}\cos \theta (\sin \theta +\sqrt{2})-(\sin \theta +\sqrt{2})=0$
$(\sqrt{2}\cos \theta -1)(\sin \theta +\sqrt{2})=0$
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},\sin \theta =-\sqrt{2}$
(1)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$よりθ=45°
(2)　$\sin \theta =-\sqrt{2}$を満たす角はない
以上より，θ=45°…（答）

【問題10】…（むずかしい）
0°≦θ≦180°のとき，次の方程式を解きなさい．
$2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\tan \theta -3=0$

θ=30° θ=45° θ=60° θ=90°
θ=30°,150° θ=45°,135° θ=60°,150°

※この問題では，３種類の三角比が登場しているので，せめて２種類まで減らすことを考えます．
$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$だから，tanθ×cosθ=sinθ
$2\tan \theta \cos \theta -2\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\tan \theta -3=0$
tanθについて整理すると
$\tan \theta (2\cos \theta +\sqrt{3})-(2\sqrt{3}\cos \theta +3)=0$
$\tan \theta (2\cos \theta +\sqrt{3})-\sqrt{3}(2\cos \theta +\sqrt{3})=0$
$(\tan \theta -\sqrt{3})(2\cos \theta +\sqrt{3})=0$
$\tan \theta =\sqrt{3},\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
(1)　$\tan \theta =\sqrt{3}$よりθ=60°
(2)　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$よりθ=150°
以上より，θ=60°,150°…（答）
（別解）
$2\sin \theta -2\sqrt{3}\cos \theta +\sqrt{3}\times {\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}-3=0$
$2\sin \theta \cos \theta -2\sqrt{3}{\cos }^2\theta +\sqrt{3}\sin \theta -3\cos \theta =0$
sinθについて整理すると
$\sin \theta (2\cos \theta +\sqrt{3})-(2\sqrt{3}{\cos }^2\theta +3\cos \theta )=0$
$\sin \theta (2\cos \theta +\sqrt{3})-\sqrt{3}\cos \theta (2\cos \theta +\sqrt{3})=0$
$(\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta )(2\cos \theta +\sqrt{3})=0$
$\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta ,\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
(1)　$\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta$より$\tan \theta =\sqrt{3}\to \theta ={60}^{\circ }$

(2)　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$よりθ=150°
以上より，θ=60°,150°…（答）