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基本的な三角比(図あり)/三角比の定義/基本的な三角比(図なし)/三角形の辺の長さ/山の高さ/三角比の相互関係(1)/三角比の相互関係(2)/三角比の相互関係(3)/鈍角の三角比(90゜～180゜)/三角方程式1/三角方程式2/三角不等式/sinθ+cosθ→sinθcosθ/三角方程式(２次)/三角不等式(２次)/
■解説■
○ 高校数学Ｉで登場する「三角比の相互関係」とは、次の２つの公式のことです。 sin2A+cos2A=1 …(1) tanA =  sinAcosA …(2)三角比sinA , cosA , tanAのうち１つ分かれば、残りはこれらの公式を使って「芋づる式に」求まります。  ○ 例えば、sinAが分かれば(1)を使ってcosAが求まり、さらに(2)を使ってtanAが求まります。しかし、例えばtanA =  34のように、三角比のうちでtanAだけが与えられて残りのsinA , cosAを求めるときは要注意です。(2)からsinA=3 , cosA=4などと間違う生徒が多いからです。（−1≦sinA , cosA≦1を満たしていないものは、三角比になりません。ここでは、比だけが与えられている場合には、 32：42、 33：43、 … 35：45などの可能性も考えなければなりません。 正しいのは、 35：45または−35：−45になります．）このように、tanA ⇒ cosA（またはsinA）の関係式が必要なときは、(1)の両辺をcos2A（またはsin2A）で割って次の公式(3)(4)を「その場で作ればよい」。（「公式」を覚えるのでなく、必要になったときに作るようにします･･･「公式がある」ということだけを覚えておく…覚えなければならない公式の数を減らして、公式間の関連をつかむようにする）
tan2A+1 =
1cos2A …(3)1+ 1tan2A = 1sin2A …(4) |
(1)の証明：x2+y2=r2の両辺をr2で割ると ( xr)2+( yr)2=1ここで、 xr=cosA , yr=sinAだから(1)が得られる。 (2)の証明： tanA = yx , sinA = yr , cosA = xrだからsinAcosA = yrxr = yr · rx = yx = tanA
(3)の証明： sin2A+cos2A=1の両辺をcos2Aで割ると sin2Acos2A+1= 1cos2A
ここで(2)を用いて左辺を変形するとtan2A+1 = 1cos2A
(4)の証明： (3)と同様にして両辺をsin2Aで割ります。 このとき、 tanA= sinAcosA → cosAsinA= 1tanAcos2Asin2A= 1tan2Aに注意します。 |