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（グーグルブロガー版）は，こちら⇒ ■三角比の相互関係 《解説》
○ 高校数学Ｉで登場する「三角比の相互関係」とは、次の２つの公式のことです。
sin2A+cos2A=1 …(1) tanA =  sinAcosA …(2)三角比sinA , cosA , tanAのうち１つ分かれば、残りはこれらの公式を使って「芋づる式に」求まります。  ○ 例えば、sinAが分かれば(1)を使ってcosAが求まり、さらに(2)を使ってtanAが求まります。しかし、例えばtanA = 34のように、三角比のうちでtanAだけが与えられて残りのsinA , cosAを求めるときは要注意です。(2)からsinA=3 , cosA=4などと間違う生徒が多いからです。（−1≦sinA , cosA≦1を満たしていないので、間違いに気づくはずです。比だけが与えられているのだから、3/2：4/2 あるいは3/5：4/5の可能性も考えなければなりません。） このように、tanA ⇒ cosA（またはsinA）の関係式が必要なときは、(1)の両辺をcos2A（またはsin2A）で割って次の公式(3)(4)を「その場で作ればよい」。（「公式」を覚えるのでなく、必要になったときに作るようにします･･･「公式がある」ということだけを覚えておく…覚えなければならない公式の数を減らして、公式間の関連をつかむようにする）
tan2A+1 =
1cos2A …(3)1+ 1tan2A = 1sin2A …(4)例1
sinA =
（答案）13 (0°≦A≦180°)のときcosAの値を求めてください。
sin2A+cos2A=1にsinA = 13を代入すると( 13)2+cos2A=1
cos2A=1−19=89
cosA=±2 √23右図のようにsinA = 13のとき、Aは第1象限の場合も第2象限の場合もあり、これに対応するcosAの値は、第1象限なら正、第2象限なら負の値になる。（どちらも可能）ゆえに、cosA=± 2√23…（答）
注意右図のように直角三角形を描いて、三平方の定理を使って横の長さｘを求めても答は得られるが、この解き方は「三平方の定理」の練習にはなるが三角比の相互関係の練習にはならない。 この方法ばかり練習していると、例えば(sinA+cosA)2などの変形ができないおそれがあります。 |
基本的な三角比(図あり)/三角比の定義/基本的な三角比(図なし)/三角形の辺の長さ/山の高さ/三角比の相互関係(1)/三角比の相互関係(2)/三角比の相互関係(3)/鈍角の三角比(90゜～180゜)/三角方程式1/三角方程式2/三角不等式/sinθ+cosθ→sinθcosθ/三角方程式(２次)/三角不等式(２次)/
cosA =
（答案）13 (0°≦A≦180°)のときtanAの値を求めてください。
sin2A+cos2A=1にcosA = 13を代入するとsin2A+( 13)2=1
sin2A=1−19=89
sinA=±2√23右図のようにcosA = 13のとき、Aは第1象限の角で、これに対応するsinAの値は正の数になる。ゆえに、sinA= 2√23このとき、tanA= sinAcosA= 2√2313= 2√2…（答）
（別解）
この答案では公式(1)を使ってcosA → sinA 公式(2)を使ってsinA , cosA → tanA のように2段階で求めたが、公式(3)を使って、cosA → tanAのように直接求めることもできる。 例3
tanA = −
√52 (0°≦A≦180°)のときcosAの値を求めてください。
■注意■
（答案）tanA = sinAcosAだからといってcosA = − 2 , sinA = √5などと考えていれば、大きな間違いです。比率が− √52になるものには、− √5222 , − √5323 , − √5424など多くの分母・分子の組合せがあります。 実際には、これらのうちでsin2A+cos2A=1を満たすものだけが答になりますが、その値は公式(3)で求まります。 公式(1)の両辺をcos2Aで割って、公式(3)を作る。 tan2A+1 = 1cos2A …(3)(3)にtanA = − √52を代入すると(− √52)2+1= 1cos2A
1cos2A= 94
cosA=±23右図のようにtanA = − √52のとき、Aは第2象限の角で、これに対応するcosAの値は負の数になる。ゆえに、cosA= − 23…（答）
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＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材の管理人（私）は，第１象限などの用語は中学校１年生で習って，その後自由に使いこなしていると思っていましたが，今の教科書を見ると，中学校の教科書には登場しないようです．