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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓規則性を見つける
↓一般項に慣れる
↓等差数列
↓等比数列，循環数列
↓和の記号Σ
↓同 (2)
↓同 (3)
↓Σ記号の変形
↓等比数列のΣ
↓いろいろな数列のΣ-現在地
↓階差数列
↓S_na_n関係式
↓部分分数分解
↓等差×等比形の数列の和
↓群数列
↓自然数の累乗の和
センター試験.数B.数列

【よく使う公式一覧】
(1) 定数項の和
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c=nc}$（ｃはｋと無関係な定数）
　　特に
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1=n}$
(2) １次式の和
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}$
(3) ２次式の和
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
(4) ３次式の和
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3=\{\frac{n(n+1)}{2}{\}}^2}$

（参考）
なお，積分（和の極限）との対応について
${\displaystyle \int 1dx=x+C,\int 0dx=C}$
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1=n,\sum _{k=1}^{n}0=0}$
が成り立つことは，まったく問題ないでしょう．
ところが，
${\displaystyle \int dx}$は${\displaystyle \int 1dx}$の省略記号なので，
${\displaystyle \int dx=x+C}$
が成り立つと，教科書に明示的に書かれているのに対して，今の教科書では
${\displaystyle \sum _{k=1}^n}$ が${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1dx}$の省略記号とは書かれていない．すなわち，
${\displaystyle \sum _{k=1}^n}$の記号は，大手３社の教科書にはなく，必ず明示的に
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1}$
と書かれています．
≪要約≫

${\displaystyle \int dx}$	${\displaystyle \int 1dx}$の省略記号として使う
${\displaystyle \sum _{k=1}^n}$	※おそらく使わない 上記の(1)で述べたように $\sum _{k=1}^{n}1=n$ $\sum _{k=1}^{n}0=0$ のどちらか一方であることを明示する必要がある

【例1-1】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}3}$

【例1-2】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}2}$

【例1-3】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}0}$

(1)
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{n}{2}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$ ${\displaystyle (\frac{1}{2}{)}^n}$ ${\displaystyle n+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2}=\stackrel{n}{\overbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2}}}=\frac{n}{2}}$ …（答）

(2)
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}2}$

解説 やり直す

$2n$ $2(n-1)$ $2n+1$ $2(n+1)$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}2=\stackrel{n+1}{\overbrace{2+2+\cdots +2}}=2(n+1)}$ …（答）

【例2-1】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(2k-1)}$

【公式】
${\displaystyle \sum (a_k\pm b_k)=\sum a_k\pm \sum b_k}$

【例2-2】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(2k+1)}$

【公式】
${\displaystyle \sum (a_k\pm b_k)=\sum a_k\pm \sum b_k}$

※ここで，「そんな公式は習っていない＃」と言い張る生徒がいて，困ったことがあります．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}$
が公式なら，次のようなことは「自動的に」言えます．（当然です！）
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2}}$←公式のnの代わりにn-1を代入
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$←公式のnの代わりにn+1を代入

(1)
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(2k-1)}$

解説 やり直す

$(n-2{)}^2$ $(n-1{)}^2$ $n^2-1$ $n^2$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(2k-1)=2\sum _{k=1}^{n-1}k-\sum _{k=1}^{n-1}1}$
$=2\times {\displaystyle \frac{(n-1)n}{2}}-(n-1)=(n-1{)}^2$ …（答）

(2)
${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}(2k+1)}$

解説 やり直す

110 111 115 120

${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}(2k+1)=2\sum _{k=1}^{10}k+\sum _{k=1}^{10}1}$
${\displaystyle =2\times \frac{10\times 11}{2}+10=110+10=120}$ …（答）

【例3-1】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k-2)}$

【例3-2】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(n-k)}$

(1)
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k-1{)}^2}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ ${\displaystyle \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}$ ${\displaystyle \frac{(n-1)n(2n+5)}{6}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(2n-5)}{6}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k-1{)}^2=\sum _{k=1}^n{k}^2-2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\times \frac{n(n+1)}{2}+n}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n(n+1)+n}$
${\displaystyle =\frac{n\{(n+1)(2n+1)-6(n+1)+6\}}{6}}$
${\displaystyle =\frac{n(2n^2+3n+1-6n-6+6)}{6}}$
${\displaystyle =\frac{n(2n^2-3n+1)}{6}=\frac{n(2n-1)(n-1)}{6}}$…（答）
（別解）
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k-1{)}^2=0^2+1^2+\cdots +(n-1{)}^2}$
${\displaystyle =1^2+2^2+\cdots +(n-1{)}^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}$…（答）

(2)
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k(k+3)}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}$ ${\displaystyle \frac{(n-1)n(n+4)}{3}}$ ${\displaystyle \frac{(n-1)n(n+5)}{3}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+11)}{6}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k(k+3)=\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2+3\sum _{k=1}^{n-1}k}$
${\displaystyle =\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+3\frac{(n-1)n}{2}}$
${\displaystyle =\frac{(n-1)n(2n-1+9)}{6}=\frac{(n-1)n(2n+8)}{6}}$
${\displaystyle =\frac{(n-1)n(n+4)}{3}}$ …（答）

(3)
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(n+1-k)}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(n+1-k)=(n+1)\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^n{k}^2}$
${\displaystyle =(n+1)\times \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)}{6}\{3(n+1)-(2n+1)\}}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)}{6}\{n+2\}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$…（答）
>

【例4-1】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(k^3+2k)}$

【例4-2】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(n-k^2)}$

(1)
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2(k+1)}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{(n-1)n(n+1)(3n+1)}{12}}$ ${\displaystyle \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{12}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)(3n+2)}{12}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3+\sum _{k=1}^n{k}^2}$
${\displaystyle =\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)}{12}\{3n(n+1)+2(2n+1)\}}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)}{12}\{3n^2+7n+2\}}$
${\displaystyle =\frac{n(n+1)}{12}(n+2)(3n+1)}$ …（答）

(2)
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}}$ ${\displaystyle \frac{(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)}{4}}$ ${\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}}$ ${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}}$

展開してもできますが，階乗型関数については，１次高い式の差で表して簡単に求める方法があります．
$\underset{―}{k(k+1)(k+2)}(k+3)-(k-1)\underset{―}{k(k+1)(k+2)}$
$=\underset{―}{k(k+1)(k+2)}\{(k+3)-(k-1)\}$
$=4\underset{―}{k(k+1)(k+2)}$
だから
$k(k+1)(k+2)$
$={\displaystyle \frac{1}{4}}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}$
k=1を代入$1\cdot 2\cdot 3={\displaystyle \frac{1}{4}}\{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4-0\cdot 1\cdot 2\cdot 3\}$
k=2を代入$2\cdot 3\cdot 4={\displaystyle \frac{1}{4}}\{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5-1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\}$
………
k=nを代入
$n\cdot (n+1)\cdot (n+2)={\displaystyle \frac{1}{4}}\{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)$
$-(n-1)\cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\}$
辺々加えると
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}}$ …(答)

【結果でなくやり方を覚えておく方がよいもの】
(5)　 等比数列の和
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a\times r^{k-1},\sum _{k=1}^{n-1}{r}^k}$など
(6)　 (等差)×(等比)形の数列の和
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(2k-1)2^k}$など
(7)　 f(n)−f(n−1)形の数列の和：階乗型関数を含む
${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}$など

初項a，公比r，項数nの３要素に分けて読み取り，「等比数列の和の公式」
…(*)

【例5-1】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{2}^{k+1}}$

【例5-2】　次の式を簡単にしてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{2}^{1-k}}$

(1)
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{3}^k}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{3(3^{n-1}-1)}{2}}$ ${\displaystyle \frac{3^n-1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{3^{n+1}-3}{2}}$

初項を求めるには，k=1を代入します．
$3^1=3$
公比を求めるには，k=1, 2, 3, … を代入して，それぞれ何倍になるか調べます．
$3^1=3,3^2=9,3^3=27,\cdots$
から，公比は3であることが分かります．
項数を求めるには，k=1からnまで何項あるか調べます．
n
以上により，求める等比数列の和は
${\displaystyle \frac{3(3^n-1)}{3-1}}={\displaystyle \frac{3^{n+1}-3}{2}}$ …（答）

(2)
${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{2}^{k+1}}$

解説 やり直す

$2^{n-1}-1$ $2^n-1$ $2^n-2$ $2^{n+1}-2$

初項を求めるには，k=0を代入します．
$2^1=2$
公比を求めるには，k=0, 1, 2, 3, ···を代入して，それぞれ何倍になるか調べます．
$2^1=2,2^2=4,2^3=8,\cdots$
から，公比は2であることが分かります．
項数を求めるには，k=0からn−1まで何項あるか調べます．（1からn−1でn−1だから0からn−1でn）
n
以上により，求める等比数列の和は
${\displaystyle \frac{2(2^n-1)}{2-1}}=2^{n+1}-2$ …（答）

【例6-1】　x≠1のとき，次の和を求めてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{x}^{k-1}}$

【例6-2】　次の和を求めてください．
${\displaystyle S=\sum _{k=1}^n(2k-1)x^{k-1}}$

【例7-1】　次の和を求めてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}$

※この問題は「部分分数分解による解法」の入門的なものですが，単に「部分分数分解」だなと紋切型に暗記していると落とし穴があります．
正確には，元の分数
${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$
の分母がｋの２次式だから，元の分数はｋの－２次式．
そこで，積分計算のときに，原始関数として次数が１次高い関数を持ってくるときを思い浮かべながら，「ｋの－２次式」の次数が１次高い式を考えると「ｋの－１次式」となり
${\displaystyle \frac{1}{k}}$
この式で隣の項
${\displaystyle \frac{1}{k+1}}$
との差で表すということです．
そこで
${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}$
とすると，上記のように中間項が消えるから，簡単になるのです．
※この注意書きは，次のような分母が３項の積になっている場合や，分数ではなく多項式の積になっている場合にズバリ当てはまります．
${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$${\displaystyle \to \{\frac{A}{k}-\frac{B}{k+1}-\frac{C}{k+2}\}}$
とするのではなく
${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$${\displaystyle \to \{\frac{A}{k(k+1)}-\frac{B}{(k+1)(k+2)}\}}$
とする．
$k(k+1)$は分数ではないから部分分数分解という用語には当てはまらないが
$k(k+1)$
$\to {\displaystyle \frac{1}{A}}\{(k+3)(k+2)(k+1)-(k+2)(k+1)k\}$
とできる．（後の解説参照）

【例7-2】　次の和を求めてください．
${\displaystyle S=\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}$

分母がｋの２次式，分数全体はｋの－２次式だから，ｋの－１次式の差で表す．

【例7-3】　次の和を求めてください．
${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$

分母がｋの３次式，分数全体はｋの－３次式だから，ｋの－２次式の差で表す．
必ず２つの分数の差にすること．３つの分数に分けてしまったら，プラス軍団とマイナス軍団のどちらかが多くなるから，中間項が消えないことに注意

※慣れないうちは，例１，例２のように縦書きにすると，安全確実に中間項を消せるが，受験参考書などでは次のようにスマートに仕上げることが多い．そもそも何を計算しているのかが分かってきたら，真似するのもよい．