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鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

桃

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第3問（選択問題）
(1)　数列{pn}は次を満たすとする。
${\displaystyle p_1=3,p_{n+1}=\frac{1}{3}{p}_n+1(n=1,2,3,\cdots )}$･･･①
数列{pn}の一般項と，初項から第n項までの和を求めよう。まず，①から

pn+1−

ア

イ

=${\displaystyle \frac{1}{3}(}$pn−

ア

イ

${\displaystyle )}$(n=1, 2, 3, ···)

となるので，数列{pn}の一般項は

pn=

1

ウ・エn−2

+

オ

カ

である。したがって，自然数nに対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k=}$

キ

ク

${\displaystyle (}$1−

1

ケn

${\displaystyle )}$+

コn

サ

である。

(1)
（答案）
漸化式${\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{3}{p}_n+1}$の特性方程式を解く
${\displaystyle \alpha =\frac{1}{3}\alpha +1}$
${\displaystyle \alpha =\frac{3}{2}}$
これを使って，原点をαだけ平行移動すると，等比数列になる
${\displaystyle p_{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}(p_n-\frac{3}{2})}$→ア,イ
→解説を隠す←

数列{pn}の一般項は
${\displaystyle p_n-\frac{3}{2}=(p_1-\frac{3}{2})(\frac{1}{3}{)}^{n-1}}$
p1=2を代入
${\displaystyle p_n=\frac{3}{2}\times (\frac{1}{3}{)}^{n-1}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2\cdot 3^{n-2}}+\frac{3}{2}}$→ウ,エ,オ,カ
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k}$
において，オ,カに対応する部分の和は
${\displaystyle \frac{3}{2}n}$
ウ,エに対応する第1項の部分の和は，初項${\displaystyle \frac{3}{2}}$，公比${\displaystyle \frac{1}{3}}$，項数nの等比数列の和だから
${\displaystyle \frac{3}{2}\times \frac{({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^n-1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}-1}=-\frac{9}{4}\times \{(\frac{1}{3}{)}^n-1\}=\frac{9}{4}\times (1-\frac{1}{3^n})}$
結局
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{p}_k=\frac{9}{4}(1-\frac{1}{3^n})+\frac{3n}{2}}$→キ,ク,ケ,コ,サ
→解説を隠す←

(2)　正の数からなる数列{an}は，初項から第3項がa1=3, a2=3, a3=3であり，すべての自然数nに対して
${\displaystyle a_{n+3}=\frac{a_n+a_{n+1}}{a_{n+2}}}$　･･･②
を満たすとする。また，数列{bn}, {cn}を，自然数nに対して，bn=a2n−1, cn=a2nで定める。数列{bn}, {cn}の一般項を求めよう。まず，②から

${\displaystyle a_4=\frac{a_1+a_2}{a_3}=}$シ${\displaystyle ,a_5=3,a_6=}$

ス

セ

${\displaystyle ,a_7=3}$

である。したがって，b1=b2=b3=b4=3となるので
bn=3　（n=1, 2, 3, ･･･）･･･③
と推定できる。
　③を示すためには，b1=3から，すべての自然数nに対して
bn+1=bn　･･･④
であることを示せばよい。このことを「まず，n=1のとき④が成り立つことを示し，次に，n=kのとき④が成り立つと仮定すると，n=k+1のときも④が成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法をソという。ソに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

(2)
${\displaystyle a_4=\frac{a_1+a_2}{a_3}=\frac{6}{3}=2}$→シ
${\displaystyle a_5=\frac{a_2+a_3}{a_4}=\frac{6}{2}=3}$
${\displaystyle a_6=\frac{a_3+a_4}{a_5}=\frac{5}{3}}$→ス,セ
${\displaystyle a_7=\frac{a_4+a_5}{a_6}=\frac{5}{\frac{5}{3}}=3}$
② 数学的帰納法→ソ
bn=a2n−1は，数列{an}の奇数番目の項を並べたもの
cn=a2nは，数列{an}の偶数番目の項を並べたもの
→解説を隠す←

［Ⅰ］ n=1のとき，b1=3, b2=3であることから④は成り立つ。
［Ⅱ］ n=kのとき，④が成り立つ，すなわち
bk+1=bk
と仮定する。n=k+1のとき，②のnに2kを代入して得られる等式と，2k−1を代入して得られる等式から

bk+2=

ck+タk+1

チk+1

，ck+1=

ツk+ck

テk+1

のなるので，bk+2は

bk+2=

(トk+ナk+1)ニk+1

bk+ck

と表される。したがって，⑤により，bk+2=bk+1が成り立つので，④はn=k+1のときにも成り立つ。
［Ⅰ］,［Ⅱ］により，すべての自然数nに対して④の成り立つことが証明された。
　したがって，③が成り立つので，数列{bn}の一般項はbn=3である。
　次に，②のnを2n−1に置き換えて得られる等式と③から
${\displaystyle c_{n+1}=\frac{1}{3}{c}_n+1(n=1,2,3,\cdots )}$
となり，c1=ヌであることと①から，数列{cn}の一般項は，(1)で求めた数列{pn}の一般項と等しくなることがわかる。

②のnに2kを代入して得られる等式は
${\displaystyle a_{2k+3}=\frac{a_{2k}+a_{2k+1}}{a_{2k+2}}}$
2k−1を代入して得られる等式は
${\displaystyle a_{2k+2}=\frac{a_{2k-1}+a_{2k}}{a_{2k+1}}}$
ここで，bn=a2n−1, cn=a2nだから，上記の２つの式はbn, cnを用いて，次の形に書ける．
${\displaystyle b_{k+2}=\frac{c_k+b_{k+1}}{c_{k+1}}}$→タ,チ
${\displaystyle c_{k+1}=\frac{b_k+c_k}{b_{k+1}}}$→ツ,テ
c1=a2=3→ヌ →解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第3問（選択問題）
　数列{an}の初項は6であり，{an}の階差数列は初項が9，公差が4の等差数列である。
(1)　a2=アイ，a3=ウエである。数列{an}の一般項を求めよう。{an}の階差数列の第n項がオn+カであるから，数列{an}の一般項は
an=キnク+ケn+コ　･･･①
である。

(1)
{an}の階差数列を数列{dn}とすると，{dn}は，初項が9，公差が4の等差数列であるから，
dn=9+4(n−1)=4n+5
したがって
a2=a1+d1=6+9=15→アイ
a3=a1+d1+d2=6+9+13=28→ウエ
階差数列の第n項は
dn=9+4(n−1)=4n+5→オ,カ
数列{an}の一般項は
ア） n=1のとき，a1=6
イ） n≧2のとき
${\displaystyle a_n=6+\sum _{k=1}^{n-1}(4k+5)}$
${\displaystyle =6+\frac{4(n-1)n}{2}+5(n-1)}$
${\displaystyle =6+2(n-1)n+5(n-1)=2n^2+3n+1}$
ア）イ）をまとめると，
n≧1のとき，an=2n2+3n+1と書ける→キ,ク,ケ,コ
→解説を隠す←

(2)　数列{bn}は，初項が${\displaystyle \frac{2}{5}}$で，漸化式
${\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n+1}-1}{b}_n(n=1,,2,3\cdot \cdot \cdot )}$　･･･②

を満たすとする。b2=

サ

シス

である。数列{bn}の一般項

と初項から第n項までの和Snを求めよう。
　①，②により，すべての自然数nに対して

bn+1=

セn+ソ

セn+タ

bn　･･･③

が成り立つことがわかる。

(2)
a1=6, a2=15，${\displaystyle b_1=\frac{2}{5}}$
だから
${\displaystyle b_2=\frac{a_1}{a_2-1}{b}_1=\frac{6}{15-1}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{14}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{35}}$→サ,シ,ス
an=2n2+3n+1だから
${\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n+1}-1}{b}_n}$
${\displaystyle =\frac{2n^2+3n+1}{2(n+1{)}^2+3(n+1)+1-1}{b}_n}$
${\displaystyle =\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+7n+5}{b}_n}$
${\displaystyle =\frac{\cancel{(n+1)}(2n+1)}{\cancel{(n+1)}(2n+5)}{b}_n}$
${\displaystyle =\frac{2n+1}{2n+5}{b}_n}$→セ,ソ,タ
→解説を隠す←

　ここで
cn=(セn+ソ)bn　･･･④
とするとき，③をcnとcn+1を用いて変形すると，すべての自然数nに対して
(セn+チ)cn+1=(セn+ツ)cn
が成り立つことがわかる。これにより
dn=(セn+テ)cn　･･･⑤
とおくと，すべての自然数nに対して，dn+1=dnが成り立つことがわかる。d1=トであるから，すべての自然数nに対して，dn=トである。したがって，④と⑤により，数列{bn}の一般項は

bn=

ト

(セn+ソ)(セn+テ)

である。また

bn=

ナ

セn+ソ

−

ニ

セn+テ

が成り立つことを利用すると，数列{bn}の初項から第n項までの和Snは

Sn=

ヌn

ネn+ノ

であることがわかる。

④→cn=(2n+1)bn
③→${\displaystyle b_{n+1}=\frac{2n+1}{2n+5}{b}_n}$
④から${\displaystyle b_n=\frac{c_n}{2n+1}}$
これを③に代入する
${\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2(n+1)+1}=\frac{\cancel{2n+1}}{2n+5}\times \frac{c_n}{\cancel{2n+1}}}$
${\displaystyle (2n+5)c_{n+1}=(2n+3)c_n}$→チ,ツ
これにより，${\displaystyle d_n=(2n+3)c_n}$とおくと→テ
${\displaystyle d_{n+1}=d_n}$が成り立つ．
${\displaystyle d_1=(2+3)c_1=5\times 3\times \frac{2}{5}=6}$→ト
④と⑤により，数列{bn}の一般項は
${\displaystyle b_n=\frac{c_n}{n+1}=\frac{6}{(2n+1)(2n+3)}}$
${\displaystyle =3\{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\}}$
${\displaystyle =\frac{3}{2n+1}-\frac{3}{2n+3}}$→ナ,ニ
　数列{bn}の和は，次の左欄のように「縦書き」にすると見やすく分かりやすいが，形式美を好む人は右欄のように書いてもよい．（参考書や受験雑誌の解答例も右欄の(#)ように，「一般項が共通で番号だけがずれた形」に書かれることが多い）

→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅱ･B】第3問（選択問題）
　自然数nに対し，2nの一の位の数をanとする。また、数列{bn}は
${\displaystyle b_1=1,b_{n+1}=\frac{a_n{b}_n}{4}(n=1,2,3,\cdots )}$･･･①
を満たすとする。
(1)　a1=2, a2=ア，a3=イ，a4=ウ，a5=エである。このことから，すべての自然数nに対して，aオ=anとなることがわかる。オに当てはまるもの を，次の⓪～④のうちから一つ選べ。

(1)　小さい数字で規則性を見つける

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
2n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	...
1の位の数	2	4	8	6	2	4	8	6	2	4	...

a1=2, a2=4, a3=8, a4=6, a5=2→ア,イ,ウ,エ
1の位の数は，2→4→8→6→が繰り返されるから，an+4=an→③ オ（⓪ a5n=anも成り立つが，「一つ選べ」という問題だから，分かりやすい③を答にすればよい）
→解説を隠す←

(2)　数列{bn}の一般項を求めよう。①を繰り返し用いることにより

bn+4=

an+3an+2an+1an

2カ

(n=1, 2, 3, ･･･)

が成り立つことがわかる。ここで，an+3an+2an+1an=3·2キ

であることから，bn+4=

ク

ケ

bnが成り立つ。このこと

から，自然数kに対して

b4k−3=${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$k−1，

b4k−2=

シ

ス

${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$k−1

b4k−1=

セ

ソ

${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$k−1，

b4k=

${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$k−1

である。

(2)
①を繰り返し用いると
${\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_n{b}_n}{4}}$
${\displaystyle b_{n+2}=\frac{a_{n+1}{b}_{n+1}}{4}}$
${\displaystyle b_{n+3}=\frac{a_{n+2}{b}_{n+2}}{4}}$
${\displaystyle \times )b_{n+4}=\frac{a_{n+3}{b}_{n+3}}{4}}$
${\displaystyle b_{n+4}\cancel{b_{n+3}}\cancel{b_{n+2}}\cancel{b_{n+1}}}$
${\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cancel{b_{n+3}}}{4}\times \frac{a_{n+2}\cancel{b_{n+2}}}{4}\times \frac{a_{n+1}\cancel{b_{n+1}}}{4}\times \frac{a_n{b}_n}{4}}$
${\displaystyle b_{n+4}=\frac{a_{n+3}{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_n}{4^4}{b}_n}$
${\displaystyle =\frac{a_{n+3}{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_n}{2^8}{b}_n}$ →カ
n+3, n+2, n+1, nは連続する4個の自然数だから，オの結果から，順序は別として，an+3, an+2, an+1, anには，2, 4, 8, 6が1個ずつ含まれる．
an+3an+2an+1an=2·4·8·6=24·1·2·4·3=3·27→キ
カ,キの結果を用いると
${\displaystyle b_{n+4}=\frac{a_{n+3}{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_n}{2^8}{b}_n}$
${\displaystyle =\frac{3\cdot 2^7}{2^8}{b}_n=\frac{3}{2}{b}_n}$ →ク,ケ
①により
${\displaystyle b_1=1}$
${\displaystyle b_2=\frac{a_1{b}_1}{4}=\frac{2\times 1}{4}=\frac{1}{2}}$
${\displaystyle b_3=\frac{a_2{b}_2}{4}=\frac{4\times \frac{1}{2}}{4}=\frac{1}{2}}$
${\displaystyle b_4=\frac{a_3{b}_3}{4}=\frac{8\times \frac{1}{2}}{4}=1}$
ク,ケの結果から，自然数k=1, 2, 3, ···に対して
${\displaystyle b_5=\frac{3}{2}{b}_1=\frac{3}{2},b_9=\frac{3}{2}{b}_5=(\frac{3}{2}{)}^2,b_{13}=\frac{3}{2}{b}_9=(\frac{3}{2}{)}^{3}1}$
${\displaystyle b_{4k-3}=(\frac{3}{2}{)}^{k-1}}$ →コ,サ
${\displaystyle b_6=\frac{3}{2}{b}_2=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2},b_{10}=\frac{3}{2}{b}_6=\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^2}$
${\displaystyle b_{4k-2}=\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^{k-1}}$ →シ,ス
${\displaystyle b_7=\frac{3}{2}{b}_3=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2},b_{11}=\frac{3}{2}{b}_7=\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^2}$
${\displaystyle b_{4k-1}=\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^{k-1}}$→セ,ソ
${\displaystyle b_8=\frac{3}{2}{b}_4=\frac{3}{2},b_{12}=\frac{3}{2}{b}_8=(\frac{3}{2}{)}^2,b_{16}=\frac{3}{2}{b}_{12}=(\frac{3}{2}{)}^3}$
${\displaystyle b_{4k}=(\frac{3}{2}{)}^{k-1}}$
→解説を隠す←

(3)　${\displaystyle S_n=\sum _{j=1}^n{b}_j}$とおく。自然数mに対して

S4m=タ${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$m−チ

である。
(4)　積b1b2···bnをTnとおく。自然数kに対して

b4k−3b4k−2b4k−1b4k=

1

ツ

${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$テ(k−1)

であることから，自然数mに対して

T4m=

1

ツm

${\displaystyle (}$

コ

サ

${\displaystyle )}$トm2−ナm

である。また，T10を計算すると，T10=

3ニ

2ヌネ

である。

(3)
${\displaystyle S_{4m}=\sum _{j=1}^{4m}{b}_j}$
${\displaystyle =(b_1+b_5+b_9+\cdots +b_{4m-3})}$
${\displaystyle +(b_2+b_6+b_{10}+\cdots +b_{4m-2})}$
${\displaystyle +(b_3+b_7+b_{11}+\cdots +b_{4m-1})}$
${\displaystyle +(b_4+b_8+b_{12}+\cdots +b_{4m})}$
${\displaystyle =\sum _{k=1}^m{b}_{4k-3}+\sum _{k=1}^m{b}_{4k-2}+\sum _{k=1}^m{b}_{4k-1}+\sum _{k=1}^m{b}_{4k}}$
${\displaystyle =\sum _{k=1}^m\{b_{4k-3}+b_{4k-2}+b_{4k-1}+b_{4k}\}}$
${\displaystyle =\sum _{k=1}^m\{(\frac{3}{2}{)}^{k-1}+\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^{k-1}+\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^{k-1}+(\frac{3}{2}{)}^{k-1}\}}$
${\displaystyle =3\sum _{k=1}^m(\frac{3}{2}{)}^{k-1}}$
${\displaystyle =3\frac{(\frac{3}{2}{)}^m-1}{\frac{3}{2}-1}}$
${\displaystyle =6\{(\frac{3}{2}{)}^m-1\}}$
${\displaystyle =6(\frac{3}{2}{)}^m-6}$→タ,チ
(4)
b4k−3b4k−2b4k−1b4k
${\displaystyle =(\frac{3}{2}{)}^{k-1}+\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^{k-1}+\frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^{k-1}+(\frac{3}{2}{)}^{k-1}}$
${\displaystyle =\frac{1}{4}(\frac{3}{2}{)}^{4(k-1)}}$ →ツ,テ
${\displaystyle T_{4m}=\frac{1}{4}(\frac{3}{2}{)}^{4(1-1)}\times \frac{1}{4}(\frac{3}{2}{)}^{4(2-1)}\times \cdots \times \frac{1}{4}(\frac{3}{2}{)}^{4(m-1)}}$
${\displaystyle =(\frac{1}{4}{)}^m(\frac{3}{2}{)}^{{\displaystyle 4\sum _{k=1}^m(k-1)}}}$
${\displaystyle =(\frac{1}{4}{)}^m(\frac{3}{2}{)}^{4\times \frac{(m-1)m}{2}}=(\frac{1}{4}{)}^m(\frac{3}{2}{)}^{2m(m-1)}}$
${\displaystyle =(\frac{1}{4}{)}^m(\frac{3}{2}{)}^{2m^{{}^2}-2m}}$ →ト,ナ
${\displaystyle T_{10}=T_8\times b_9{b}_{10}=\frac{1}{4^2}\times (\frac{3}{2}{)}^4\times (\frac{3}{2}{)}^2\times \frac{1}{2}\times (\frac{3}{2}{)}^2}$
${\displaystyle =\frac{1}{2^5}\times (\frac{3}{2}{)}^8=\frac{3^8}{2^{13}}}$ →ニ,ヌ,ネ
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第3問（選択問題）
　真分数を分母の小さい順に，分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
${\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\cdots }$
を{an}とする。真分数とは，分子と分母がともに自然数で，分子が分母より小さい分数のことであり，上の数列では，約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は，解答上の注意にあるように，それ以上約分できない形で答えよ。

(1)　a15=

ア

イ

である。また，分母に初めて8が現れる

項は，aウエである。
(2)　kを2以上の自然数とする。数列{an}において，${\displaystyle \frac{1}{k}}$が初めて現れる項を第Mk項とし，${\displaystyle \frac{k-1}{k}}$が初めて現れる項を第Nk項とすると

Mk=

オ

カ

k2−

キ

ク

k+ケ

Nk=

コ

サ

k2−

シ

ス

k

である。よって，a104=

セソ

タチ

である。

(1)
　次のように群数列に分ける
1群2群3群4群
${\displaystyle |\frac{1}{2}|\frac{1}{3},\frac{2}{3}|\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4}|\frac{1}{5},\cdots }$
　このとき，第m群の第n項と元の数列の第k項との関係を調べると，第m群の末項までには
1+2+3+･･･+m=${\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}$項ある
${\displaystyle \frac{5\times 6}{2}=15}$
だから，元の数列の第15項，すなわちa15は，第5群の末項，すなわち，第5項であるから
${\displaystyle a_{15}=\frac{5}{6}}$→ア,イ
　分母に初めて8が現れるのは，第7群の初項
ところで，第6群の末項までにある項数は
${\displaystyle \frac{6\times 7}{2}=21}$
であるから，求めるものは，その次の項a22→ウ,エ
(2)
数列{an}において，${\displaystyle \frac{1}{k}}$が初めて現れる項は，第k−1群の第1項だから，{an}の第
${\displaystyle \frac{(k-2)(k-1)}{2}+1=\frac{k^2-3k+4}{2}=\frac{1}{2}{k}^2-\frac{3}{2}k+2}$
番目の項，すなわち
${\displaystyle M_k=\frac{1}{2}{k}^2-\frac{3}{2}k+2}$ →オ,カ,キ,ク,ケ
${\displaystyle \frac{k-1}{k}}$が初めて現れる項は，第k−1群の第k−1項，すなわち
${\displaystyle N_k=\frac{1}{2}{k}^2-\frac{3}{2}k+2+(k-2)}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}{k}^2-\frac{1}{2}k}$ →コ,サ,シ,ス
${\displaystyle \frac{14\times 15}{2}=105}$だから，a105は，第14群の末項（第14項）．したがって，a104は，第14群の第13項
${\displaystyle a_{104}=\frac{13}{15}}$→セソ,タチ
→解説を隠す←

(3)　kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から

第Nk項までの和は，

ツ

テ

k−

ト

ナ

である。したがって，

数列{an}の初項から第Nk項までの和は

ニ

ヌ

k2−

ネ

ノ

k

である。よって

${\displaystyle \sum _{n=1}^{103}{a}_n=}$

ハヒフ

ヘホ

である。

(3)
第Mk項から第Nk項までは，分母がすべてkで，分子が各々1, 2, 3, ... , k−1だから，それらの和は
${\displaystyle \frac{1}{k}\times \frac{(k-1)k}{2}=\frac{k-1}{2}=\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}}$→ツ,テ,ト,ナ (#1)
数列{an}の初項から第Nk項までの和は，上記の結果(#1)に対して，2, 3, ..., kまでの和を求めるとよいから
${\displaystyle \sum _{j=2}^k(\frac{1}{2}k-\frac{1}{2})=\sum _{j=1}^k(\frac{1}{2}j-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}\times \frac{k(k+1)}{2}-\frac{1}{2}k}$
${\displaystyle =\frac{1}{4}{k}^2-\frac{1}{4}k}$ →ニ,ヌ,ネ,ノ
a1+a2+a3+･･･+a103は第14群（k=15）の末項（第N14項）までの和から，(a104+a105)を取り除けばよい
${\displaystyle \frac{{15}^2-15}{4}-(\frac{13}{15}+\frac{14}{15})}$
${\displaystyle =\frac{15\times 14}{4}-\frac{27}{15}=\frac{15\times 7}{2}-\frac{9}{5}}$
${\displaystyle =\frac{525-18}{10}=\frac{507}{10}}$ →ハヒフ,ヘホ
→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第3問（選択問題）
　以下において考察する数列の項は，すべて実数であるとする。
(1)　等比数列{sn}の初項が1，公比が2であるとき
s1s2s3=ア，s1+s2+s3=イ
である。 (2)　{sn}を初項x，公比rの等比数列とする。a, bを実数（ただしa≠0）とし，{sn}の最初の3項が
s1s2s3=a3　･･･①
s1+s2+s3=b　･･･②
を満たすとする。このとき
xr=ウ　･･･③
である。さらに，②③を用いてr, a, bの満たす関係式を求めると
エr2+(オ−カ)r+キ=0　･･･④
を得る。④を満たす実数rが存在するので
クa2+ケab−b2≦0　･･･⑤
である。
　逆に，a, bが⑤を満たすとき，③④を用いてr, xの値を求めることができる。

(1)
sn=2n−1だから
s1s2s3=20×21×22=8→ア
s1+s2+s3=20+21+22=1+2+4=7→イ
(2)
sn=x·rn−1とおける
s1s2s3=x·r0×x·r1×x·r2=(xr)3=a3･･･①
①より（xr, aが実数だから）
xr=a→ウ･･･③
また，②より
x+xr+xr2=b
x(1+r+r2)=b･･･②'
③から${\displaystyle x=\frac{a}{r}}$として②'に代入すると
${\displaystyle \frac{a}{r}(1+r+r^2)=b}$
a(1+r+r2)=br
ar2+(a−b)r+a=0→エ,オ,カ,キ･･･④
④をrに関する2次方程式として，判別式Dを求めると
D=(a−b)2−4a2≧0
3a2+2ab−b2≦0→ク,ケ･･･⑤
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(3)　a=64, b=336のとき，(2)の条件①，②を満たし，公比が1より大きい等比数列{sn}を考える。③，④を用いて{sn}の公比rと初項xを求めると，r=コ，x=サシである。
　{sn}を用いて，数列{tn}を
tn=snlogコsn　(n=1, 2, 3, ･･･)
と定める。このとき,{tn}の一般項は
tn=(n+ス)·コn+セである。{tn}の初項から第n項までの和Unは，Un−コUnを計算することにより

Uk=

ソn+タ

チ

・コn+ツ−

テト

ナ

であることがわかる。

(3)
xr=64･･･①"
x(1+r+r2)=336･･･②"
①"を②"に代入してxを消去する
${\displaystyle \frac{64}{r}(1+r+r^2)=336}$
4(1+r+r2)=21
4r2−17r+4=0
(4r−1)(r−4)=0
仮定によりr>1だから
r=4→コ
これを①"に代入
x=16→サ,シ
tn=snlog4sn=4n+1·log4(4n+1)
=4n+1·(n+1)
=(n+1)·4n+1→ス,セ
Un=2·42+3·43+4·44+･･･+n·4n+(n+1)·4n+1
− ) 4Un=2·43+3·44+4·45+･･･+n·4n+1+(n+1)·4n+2
−3Un=2·42+(43+44+･･･+4n)−(n+1)·4n+1
${\displaystyle =32+\frac{4^3(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n+1)4^{n+2}}$
${\displaystyle =32+\frac{4^{n+2}-64}{3}-(n+1)4^{n+2}}$
${\displaystyle =\frac{96+4^{n+2}-64-3\times (n+1)4^{n+2}}{3}}$
${\displaystyle =\frac{32+\{1-3(n+1)\}{4}^{n+2}}{3}}$
${\displaystyle =\frac{32+(-3n-2)4^{n+2}}{3}}$
${\displaystyle U_n=\frac{(3n+2)}{9}\cdot 4^{n+2}-\frac{32}{9}}$ →ソ,タ,チ,ツ,テ,ト,ナ
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【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第3問（選択問題）
　第4項が30，初項から第8項までの和が288である等差数列を{an}とし，{an}の初項から第n項までの和をSnとする。また，第2項が36，初項から第3項までの和が156である等比数列で公比が1よりも大きいものを{bn}とし，{bn}の初項から第n項までの和をTnとする。 (1)　{an}の初項はアイ，公差はウエであり
Sn=オn2−カキn
である。 (2)　{bn}の初項はクケ，公比はコであり
Tn=サ(シn−ス)
である。

(1)
{an}の初項をa，公差をdとおくと
a4=a+3d=30･･･①
${\displaystyle S_8=\frac{8(2a+7d)}{2}=4(2a+7d)=288}$ ･･･②
②÷4
2a+7d=72･･･②’
①×2
2a+6d=60･･･①’
②’−①’
d=12→ウエ
①に代入
a=−6→アイ
${\displaystyle S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}=\frac{n\{-12+12(n-1)\}}{2}}$
${\displaystyle =n(6n-12)=6n^2-12n}$→オ,カキ
{bn}の初項をb，公比をr (>1)とおくと
b2=br=36･･･③
b1+b2+b3=b(1+r+r2)=156･･･④
r>1(r≠0)により，③からbを消去して④に代入する
${\displaystyle \frac{36}{r}(1+r+r^2)=156}$
36(1+r+r2)=156r
3(1+r+r2)=13r
3r2−10r+3=0
(3−1)(r−3)=0
r>1により
r=3→コ
これを③に代入すると
b=12→クケ
${\displaystyle T_n=\frac{b(r^n-1)}{r-1}=\frac{12(3^n-1)}{3-1}=6(3^n-1)}$ →サ,シ,ス
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(3)　数列{cn}を次のように定義する。
${\displaystyle c_k=\sum _{k=1}^n(n-k+1)(a_k-b_k)}$
${\displaystyle =n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots +2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n)}$
(n=1, 2, 3, ･･･)
たとえば
c1=a1−b1,c2=2(a1−b1)+(a2−b2)
c3=3(a1−b1)+2(a2−b2)+(a3−b3)
である。数列{cn}の一般項を求めよう。
　{cn}の階差数列を{dn}とする。dn=cn+1−cnであるから，dn=セを満たす。セに当てはまるものを，次の⓪～⑦のうちから一つ選べ。



したがって，(1)と(2)により
dn=ソn2−2·タn+チ
である。cn=ツテトであるから，{cn}の一般項は
cn=ナn3−ニn2+n+ヌ−タn+ネ
である。

(3)
${\displaystyle c_n=n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots +2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n)}$
${\displaystyle c_{n+1}=(n+1)(a_1-b_1)+(n)(a_2-b_2)+\cdots +2(a_n-b_n)+(a_{n+1}-b_{n+1})}$
だから
${\displaystyle c_{n+1}-c_n=(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+\cdots +(a_n-b_n)+(a_{n+1}-b_{n+1})}$
${\displaystyle d_n=c_{n+1}-c_n=S_{n+1}-T_{n+1}}$→ ⑤セ
(1)(2)の結果を用いると
${\displaystyle d_n=S_{n+1}-T_{n+1}=6(n+1{)}^2-12(n+1)-6(3^{n+1}-1)}$
${\displaystyle =6n^2+\cancel{12n}+\cancel{6}-\cancel{12n}-\cancel{12}-6\times 3^{n+1}+\cancel{6}}$
${\displaystyle =6n^2-2\times 3^{n+2}}$→ソ,タ,チ
${\displaystyle c_1=a_1-b_1=-6-12=-18}$→ツ,テ,ト
${\displaystyle c_n=c_1+\sum _{k=1}^{n-1}{d}_k}$
${\displaystyle =-18+\sum _{k=1}^{n-1}(6k^2-2\times 3^{k+2})}$
${\displaystyle =-18+(n-1)n(2n-1)-\frac{54(3^{n-1}-1)}{3-1}}$
${\displaystyle =-18+2n^3-3n^2+n-27(3^{n-1}-1)}$
${\displaystyle =2n^3-3n^2+n+9-3^{n+2}}$→ナ,ニ,ヌ,ネ
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