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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 二次関数の最大最小,共有点の個数

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（基本）条件式が１次方程式のもの

条件式が２次方程式のもの

条件式が比例形になっている場合

２変数関数の最大・最小

媒介変数（助変数）を含む２次関数の最大・最小

（基本）条件式が１次方程式のもの

【例題1.1】
x+y=2のとき，xyの最大値を求めてください．

条件式が１次方程式のときは，その方程式を使って１つの文字yを消去して，１つの変数xの関数に直して考えるのが基本です．（xを消去してもよい）

この参考図において，縦はyではなく，求める関数xyをxの関数として表したものであることに注意

【例題1.2】
x+2y=3のとき，2x2+y2の最小値を求めてください．

条件式の方程式を使って１文字を消去しますが，yを消去すると初めから分数が登場します．
この形ならxを消去する方が有利でしょう

この参考図において，縦はyではなく，求める関数2x2+y2をyの関数として表したものであることに注意

(1)
x−y=4のとき，xyの最小値を求めてください．

−6 −4 0 2 4 6

y=x−4を代入すると
xy=x(x−4)=x2−4x
=(x−2)2−4
x=2, y=−2のとき最小値−4をとる

(2)
x+y=1のとき，2x2−3y2の最大値を求めてください．

−6 −4 0 2 4 6

y=1−xを代入すると
2x2−3y2=2x2−3(1−x)2
=2x2−3(x2−2x+1)
=−x2+6x−3
=−(x2−6x)−3
=−{(x−3)2−9}−3
=−(x−3)2+9−3
=−(x−3)2+6
x=3, y=−2のとき最大値6をとる

条件式が２次方程式のもの

「x2+y2=1のとき，x+y最大値を求めよ」というような問題では，条件式x2+y2=1を１文字について解いて目的の式に代入消去するという方法は難しくなります．

全くできないということではないのですが，$x\pm \sqrt{1-x^2}$のような関数の最大値を求めるのは大変です．

このような問題では，
x2+y2=1…(1)　（条件式は方程式）
x+y=k…(2)　（目的の式も方程式になる）

→ (1)(2)の両方を満たす実数x, yが存在したら，そのようなkの値はとり得る値で，(1)(2)の両方を満たす実数x, yが存在しなかったら，そのようなkの値はとり得ないと考える．

このような考え方の転換に慣れるまでは違和感があるかもしれないが，例えばx=1, y=0はx2+y2=1…(1)　を満たすが，そのときk=1+0=1の値は確かに取り得る値となっている．
また，x=0, y=−1はx2+y2=1…(1)　を満たすが，そのときk=0−1=−1の値は確かに取り得る値となっている．
このようにして(1)(2)を満たす実数x, yが存在したら，そのようなkの値はとり得る値となるのだから，(1)(2)を満たす実数x, yが存在するための条件を求めたらよい．（判別式を使うのでまだ習っていない場合は，飛ばしてもよいし，判別式を勉強してからやってもよい）

【例題2.1】
x2+y2=1のとき，x+yの最大値を求めてください．

【例題2.2】
xy=1 (x>0, y>0)のとき，x+yの最小値を求めてください．

(1)
x2+y2=2のとき，y−xの最大値を求めてください．

−2 −1 0 1 2 3

y−x=kとおく
y=x+kを代入すると
x2+(x+k)2=2
2x2+2kx+(k2−2)=0
判別式をD'とおくと
D'=k2−2(k2−2)≧0
k2≦4
−2≦k≦2
k=2のときx=−1, y=1
x=−1, y=1のとき最大値2をとる

(2)
x2−xy+y2=1のとき，x+yの最大値を求めてください．

−2 −1 0 1 2 3

x+y=kとおく
y=k−xを代入すると
x2−x(k−x)+(k−x)2=1
x2−kx+x2+k2−2kx+x2=1
3x2−3kx+(k2−1)=0
判別式をDとおくと
D=9k2−12(k2−1)≧0
−3k2+12≧0
k2≦4
−2≦k≦2
k=2のときx=1, y=1
x=1, y=1のとき最大値2をとる

条件式が比例形になっている場合

【例題3.1】

$x-1={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z-2}{4}}$のとき，$x^2+y-z$の最小値を求めてください．

(1)

$x-1={\displaystyle \frac{y+1}{2}}=1-z$のとき， $x^2+y^2-z^2$の最小値を求めてください．

−2 −1 0 1 2 3

$x-1={\displaystyle \frac{y+1}{2}}=1-z=t$とおくと
$x=t+1,y=2t-1,z=1-t$
このとき
$x^2+y^2-z^2=(t+1{)}^2+(2t-1{)}^2-(1-t{)}^2$
$=t^2+2t+1+4t^2-4t+1-1+2t-t^2$
$=4t^2+1$
となるから
$t=0(x=1,y=-1,z=1)$のとき最小値1をとる

(2)

${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{3}}={\displaystyle \frac{z-3}{4}}$のとき，$2x^2+y^2-z^2$の最小値を求めてください．

−11 −7 −4 1 4 7

${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{3}}={\displaystyle \frac{z-3}{4}}=t$とおくと
$x=2t+1,y=3t+2,z=4t+3$
このとき
$2x^2+y^2-z^2=2(2t+1{)}^2+(3t+2{)}^2-(4t+3{)}^2$
$=(8t^2+8t+2)+(9t^2+12t+4)-(16t^2+24t+9)$
$=t^2-4t-3=(t-2{)}^2-7$
となるから
$t=2(x=5,y=8,z=11)$のとき最小値−7をとる

２変数関数の最大・最小

(A)　まず初めにxだけを変数として（xについて整理して）平方完成を行い
(B)　次にそこで出てきた定数項をyの関数として平方完成を行う

【例題4.1】
$x^2+y^2+4x-2y+6$の最小値を求めてください．

【例題4.2】
$x^2-xy+y^2-x+2y+4$の最小値を求めてください．

(1)

$x^2+2y^2+6x-4y+15$の最小値を求めてください．

0 1 2 3 4 5

$(x^2+6x)+2(y^2-2y)+15$
$=(x+3{)}^3-9+2\{(y-1{)}^2-1\}+15$
$=(x+3{)}^3+2(y-1{)}^2+4$
$x=-3,y=1$のとき最小値4をとる

(2)

$x^2-4xy+5y^2-2x+2y+4$の最小値を求めてください．

0 1 2 3 4 5

xについて整理する
$x^2-(4y+2)x+(5y^2+2y+4)$
$=\{x-(2y+1){\}}^2-(2y+1{)}^2+(5y^2+2y+4)$
$=\{x-(2y+1){\}}^2+(y^2-2y+3)$
$=\{x-(2y+1){\}}^2+(y-1{)}^2+2$
$x=2y+1,y=1\leftarrow \to x=3,y=1$のとき最小値2をとる

媒介変数（助変数）を含む２次関数の最大・最小

媒介変数（助変数）を含む２次関数の最大・最小問題は，内容的には２変数関数の最大最小の問題と同じですが，出題のされ方や見かけが少し変わりますので，これにも慣れておく方がよいでしょう．

【例題5.1】
関数$f(x)=x^2+2(2a+1)x+a^2+2a+2$の最小値$g(a)$を求めてください．
次に$g(a)$の最大値を求めてください．

【例題5.2】
$-2\leqq x\leqq 2$における$f(x)=x^2-2ax$の最大値と最小値を求めてください．

最小値は$f(-2)=4+4a$
最大値は$f(2)=4-4a$

最小値は$f(a)=-a^2$
最大値は$f(2)=4-4a$

最小値は$f(a)=-a^2$
最大値は$f(-2)=4+4a$

最小値は$f(2)=4-4a$
最大値は$f(-2)=4+4a$

(1)
0≦x≦2において$f(x)=x^2-2ax+1$の最小値を求めてください．

1 −a2+1 5−4a 2−2a 2+2a

解説 やり直す

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+1$
a<0のとき区間 0≦x≦2において増加関数になるからx=0で最小値をとる
最小値はf(0)=1

1 −a2+1 5−4a 2−2a 2+2a

解説 やり直す

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+1$
0≦a<2のとき区間0≦x≦2の中に頂点があるから，x=aで最小値をとる
最小値は $f(a)=-a^2+1$

1 −a2+1 5−4a 2−2a 2+2a

解説 やり直す

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+1$
2≦aのとき区間 0≦x≦2において減少関数になるから x=2で最小値をとる
最小値は$f(2)=5-4a$

(2)
1≦x≦5において$f(x)=x^2-2ax+3$の最小値を求めてください．

2 3 4−2a 28−10a −a2+3

解説 やり直す

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3$
a<1のとき区間1≦x≦5において増加関数になるからx=1で最小値をとる
最小値は $f(1)=4-2a$

2 3 4−2a 28−10a −a2+3

解説 やり直す

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3$
1≦a<5のとき区間1≦x≦5の中に頂点があるから， x=aで最小値をとる
最小値は $f(a)=-a^2+3$

2 3 4−2a 28−10a −a2+3

解説 やり直す

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3$
5≦aのとき区間 1≦x≦5において減少関数になるから x=5で最小値をとる
最小値は$f(5)=28-10a$

(1)
x≦t≦x+1において$f(t)=t^2-2t+2$の最大値を求めてください．

1 2 x x+1 x2+1 x2−2x+2

解説 やり直す

$f(t)=(t-1{)}^2+1$
$x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき区間 x≦t≦x+1の左端が最大となるから t=xで最大値をとる
最大値は $f(x)=x^2-2x+2$

1 2 x x+1 x2+1 x2−2x+2

解説 やり直す

$f(t)=(t-1{)}^2+1$
${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x$のとき区間x≦t≦x+1の右端で最大になるから，t=x+1で最大値をとる
最大値は $f(x+1)=x^2+1$

(2)
0≦x≦tにおいて$f(x)=x^2-4x-1$の最大値を求めてください．

−1 −5 t t−2 t2−4t−1

解説 やり直す

$f(x)=(x-2{)}^2-5$
t<4のとき区間0≦x≦tの左端で最大となるからx=0で最大値をとる
最大値は$f(0)=-1$

−1 −5 t t−2 t2−4t−1

解説 やり直す

$f(x)=(x-2{)}^2-5$
4≦tのとき区間0≦x≦tの右端で最大になるから，x=tで最大値をとる
最大値は $f(t)=t^2-4t-1$

わかりやすく、とても参考になっています。 条件式が比例形になっている場合 の最初の解説の比例形で式が x/2=y/3=y/4 と不可能な式となっていました。y/4はz/4の間違えではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ｙ→ｚ書き換えました．

問題5の(2)が、問題文では0≦x≦5となっているのに、解答では1≦x≦5になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題文の入力ミスとして訂正しました．