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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 集合と条件

(1)
A={ x | xは12の正の約数}, B={ x | xは18の正の約数}とするとき，A∩Bを集合の要素を書き並べる方法で示してください．

解説 やり直す

{1, 2, 3, 6} {1, 2, 3, 4, 6}
{1, 2, 3, 6, 12} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

A={1, 2, 3, 4, 6, 12}, B={1, 2, 3, 6, 9, 18}だから，これらの共通部分は{1, 2, 3, 6} …（答）
（別解）Ａ，Ｂの公約数は６の約数と考えてもよい

(2)
A={ x | 0<x<5}, B={ x | 2<x<7}とするとき，A∪Bを要素の条件を述べる方法で示してください．

解説 やり直す

{x | 0<x<2} {x | 2<x<5}
{x | 5<x<7} {x | 0<x<7}

少なくとも一方に含まれるものをも答えます．（両方に入るものも可）
{x | 0<x<7}} …（答）

(3)
1から100までの整数全体の集合を全体集合Uとし，その中で2で割り切れる数の集合をA，5で割り切れる数の集合をBとするとき，集合A∪Bの要素の個数を求めてください．

解説 やり直す

50 60 70 80

集合Aの要素の数をn(A)で表すと
A={2,4,6,...,100}だから
n(A)=50
B={5,10,15,...,100}だから
n(B)=20
A∩B={10,20,...,100}だから
n(A∩B)=10
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=50+20−10=60 …（答）

(4)
次のうちで，つねに成り立つものはどれか．

解説 やり直す

$(A\cup B)\subset A$ $(A\cup B)\supset A$
$(A\cup B)\subset B$ $(A\cup B)\subset (A\cap B)$

1) 右図で黄色の部分があるとき，$(A\cup B)\subset A$は成り立たない
2) $(A\cup B)\supset A$はつねに成り立つ
3) 右図で水色の部分があるとき，$(A\cup B)\subset B$は成り立たない
4) 右図で黄色や水色の部分があるとき，$(A\cup B)\subset (A\cap B)$は成り立たない
以上から，つねに成り立つのは$(A\cup B)\supset A$ …（答）

(5)
整数全体の集合をZ={ ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}とし
A={ x | x=2n−1, n∈Z}
B={ x | x=2n+1, n∈Z}
とするとき，次のうちで正しいのはどれか．

解説 やり直す

$A\subset B$ $A\supset B$
$A=B$ $A\cup B=Z$

A={... , −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, ...}
B={... , −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, ...}
だから，これらは等しい…（答）

(6)
自然数全体の集合をN={ 1, 2, 3, ...}とし
A={ x | x=2n+1, n∈N}
B={ x | x=3n+1, n∈N}
とするとき，次のうちでA∩Bに等しい集合はどれか．

解説 やり直す

{ x | x=5n+1, n∈N} { x | x=5n+2, n∈N}
{ x | x=6n+1, n∈N} { x | x=6n+2, n∈N}

Ａは２で割って１余る数の集合A={3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Ｂは３で割って１余る数の集合B={4,7, 10,13, 16, ...}
だから，両方に入るのは６で割って１余る数
A∩B={7, 13, ...}={ x | x=6n+1, n∈N}…（答）

高校になってから数学が難しくなり、困っていたのですが 解りやすい解説で理解することができました！ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

空集合についての解説が欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かにその部分が薄いようですので，考えておきます．

確かに仰るとおり、日常で「または」という語を使う場合に数学的な意味とは異なる場合の方が多いのは確かですが、日常会話でも数学的な使い方と同様になる場合は沢山あり、しかもそういった例は数学的な「または」とイメージ的にも似通っている場合が多いので、そのような例を用いて数学的な使い方の正確なイメージを伝える方が学習者にはより有益ではないかと感じました。 たとえば、「ある中学のサッカー部（という全体集合）では、6月の練習試合に小学生時の経験者（という集合）『または』２年生以上（という集合）が出場できる（出場可能者 = 経験者 ∪ ２年生以上）」といった場合であれば、集合における「または」とほぼ同じ意味を表すことになり、数学的な集合のイメージと重ねて理解がしやすいと思います。 コーヒーと紅茶を例に出すなら、「彼はコーヒーまたは紅茶を飲みましたか？」という質問に対して、Yesと言える状況は彼が何を飲んだときか、と考えると、彼がコーヒーのみ飲んだ場合、紅茶のみを飲んだ場合、あるいはその両方を飲んだ場合、いずれもYesと答えられます。彼がどちらも飲んでいない場合のみ、答えはNoとなりますね。 そのような例と合わせて、「セットにコーヒーまたは紅茶がつく」のような意味の異なる例を合わせて紹介することで、「数学的な『または』とは、○または○の『どちらか一方にでも当てはまる』ことを意味する」と結論づけておけば、より理解を促すことが出来るのではと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．詳しく書いてもらいましたが，教材に書かれていることのように思えますが･･･

解説がとても分かりやすく、よく理解できました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

段階を追って問題を解けるので、わかりやすかったです。最後の問題を間違えましたが、説明で理解することができました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても役に立ちました！Thank U！ もうすぐ数検準２級を受けるのでとても参考になりました。最後に問題があるのがいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．