指数不等式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「指数関数」について，このサイトには次の教材があります．
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↓負の指数
↓同(2)

↓指数法則
↓同(2)
↓理科における有効数字の表し方

↓累乗根
↓同(2)
↓分数の指数
↓同(2)
↓a^x+a^−xの値

↓指数関数のグラフ
↓指数と大小比較
↓ｎ乗比較

↓指数方程式
↓同(2)
↓指数不等式

指数が対数のもの

== 指数不等式 ==
■解説・・・指数不等式の解き方

［要点］
下のグラフから分かるように，
(1) ａ＞１のとき　ｙ＝ａ^ｘ　は増加関数だから a^p＜a^q　→　p＜q (2) 0＜a＜1のとき　ｙ＝ａ^ｘ　は減少関数だから a^p＜a^q　→　p＞q

※(2)で関数の大小と指数の大小が逆になるところが要注意です。

●(1)の例
　２^2x-4＜２^2-x　→底２は１より大だから　2x-4＜2-x　
(これで指数は外れましたので、あとは単なる１次不等式です。)
　3x＜6　より　x＜2・・・答

●(2)の例
　　→　底が１より小さいから　x-1>3
(これで指数は外れましたので、あとは単なる１次不等式です。)
　　x>4・・・答

■問題・・・次の不等式を解きなさい。

１

^{◆ヒント1◆}_{◆ヒント2◆}^{◆ヒント3◆}_{◆ヒント4◆}

(3²)^x+1> 3⁴

==> 3^2x+2 > 3⁴

==> 底3は１より大だから　2x+2 > 4

==> 2x > 2

２

^{◆ヒント1◆}_{◆ヒント2◆}

==> 底

は１より小さいから x-1 > 5

３

^{◆ヒント1◆}_{◆ヒント2◆}^{◆ヒント3◆}_{◆ヒント4◆}

(3²)^x+3≦(3³)^x-1

==> 3^2x+6≦3^3x-3

==> 底3は1より大きいから 2x+6≦3x-3

==> -x≦-9

４

^{◆ヒント1◆}_{◆ヒント2◆}

==> 底 $\frac{1}{5}$ は１より小さいから2x+1>3x

５

^{◆ヒント1◆}_{◆ヒント2◆}^{◆ヒント3◆}_{◆ヒント4◆}

2^x=t (>0)・・(1)とおくと t²-2t≦8

==> (t-4)(t+2)≦0

==> -2≦t≦4・・(2)

==> (1)(2)より (0<) t≦4すなわち2^x≦2²

６

^{◆ヒント1◆}_{◆ヒント2◆}^{◆ヒント3◆}_{◆ヒント4◆}

==> (t-16)(t-2)≦0

==> 2≦t≦16 すなわち

==> 底は１より小さいから　-1≧x≧-4

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