微分係数の定義

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓平均変化率,極限値
↓不定形の極限
↓微分係数

↓導関数の定義
↓微分係数,導関数の定義(問題)

↓導関数の公式(問題)
↓導関数の符号,求め方
↓増減表
↓増減,極値,グラフ
↓絶対値付き関数の増減(問題)
↓最大値,最小値
↓最大最小,文字係数とグラフ(問題)

↓接線の方程式

センター試験の数Ⅱ微積

*** 数学Ⅲ（三角,指数,対数,無理関数を含む） ***

積の微分

同(2)

陰関数の微分法

三角関数の微分

同(2)

関数のグラフ総合･･･増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線

*** 高卒から大学初年度程度 ***

逆三角関数の微分法

マクローリン展開

偏微分

== 微分係数 == ◇解説◇

【平均変化率とは】
　中学校の数学で，「変化の割合」と呼ばれるものを高校では「平均変化率」といいます。
　関数 y = f(x) において， x の値が a から b まで変化するとき，
　　　　x の増分 Δx = b−a
と
　　　　y の増分 Δy = f(b)−f(a)
の比　 .

ΔyΔxnn

を，x が a から b まで変化するときの平均変化率といいます。

（平均変化率は次図で直線 AB の傾きに対応しています。）

【例】
(1)　関数 y = x2 において， x の値が 1 から 2 まで変化するときの平均変化率は
　　.

22−122−1nnnnn = 3

(2)　関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.0 から 1.1 まで変化するときの平均変化率は

　　.

1.12−1.021.1−1.0nnnnnnnnn = .

0.210.1nnnn = 2.1

(3)　関数 y = 2x2 において， x の値が 1 から a まで変化するときの平均変化率は
　　.

2a2−2a−1nnnnn = .

2(a−1)(a+1)a−1nnnnnnnnnnn = 2(a+1)

(4)　関数 f(x) = 2x2 において， x の値が 1 から 1+h まで変化するときの平均変化率は
　　.

2(1+h)2−2hnnnnnnnnn = .

4h+2h2hnnnnnn = 4+2h

◇問題1◇　次の平均変化率を求めなさい。
○採点は，後でまとめて行います．
○分からないときは

を押すと途中計算が出ます．

(1)　関数 y = 3x2 において， x の値が 1 から 3 まで変化するときの平均変化率

3·32−3·123−1nnnnnnnnn = .

27−32nnnn = .

242nn =

(2)　関数 f(x) = x2 において， x の値が 1.00 から 1.01 まで変化するときの平均変化率

1.012−1.0021.01−1.00nnnnnnnnnn = .

0.02010.01nnnnnn =

(3)　関数 y = 3x2 において， x の値が 1 から b まで変化するときの平均変化率

3·b2−3·12b−1nnnnnnnnn = .

3(b2−1)b−1nnnnnnn = .

3(b−1)(b+1)b−1nnnnnnnnnnn

= (b+1)

(4)　関数 f(x) =−2x2 において， x の値が 2 から 2+h まで変化するときの平均変化率

−2(2+h)2+2·22hnnnnnnnnnnnnn = .

−8−8h−2h2+8hnnnnnnnnnnnn = .

−8h−2h2hnnnnnnn

=−−2h

◇微分係数◇
　平均変化率の計算において， x の増分Δx を限りなく 0 に近づけるとき，Δx も Δy も 0 に近づきますが，その比はなくなりません。
　右の図において， .

ΔyΔxnn は分母も分子も 0 に近づき，

いわゆる不定形の極限になりますが，極限値はあります。
　この極限値が，微分係数です。（右の図で点Aにおける接線の傾きに対応しています。）

◇微分係数の定義◇

　関数 y = f(x) の x = a における微分係数を f’(a) で表わし，次の式で定義します。

◎　f’(a) = limh→0limii.

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn　···　これが使いやすい。

○　f’(a) = limΔx→0limii.

f(a+Δx)−f(a)Δxnnnnnnnnnnn　···　この書き方もある。

○　f’(a) = limx→alimii.

f(x)−f(a)x−annnnnnnn　···　この書き方もある。

微分係数の定義には，上の３つの式が使われますが，数IIでは◎が使いやすいでしょう。２つ目の式は，Δx2 などの記号を間違って使うおそれがあります。３つ目の式は，計算が複雑になります。　

(例1)　f(x) = x2 のとき，f’(3) を求めなさい。

(答案A)
f’(3) = limh→0limii.

f(3+h)−f(3)hnnnnnnnnnn = limh→0limii.

(3+h)2−32hnnnnnnnn

= limh→0limii.

6h+h2hnnnnn = limh→0limii(6+h) = 6

(答案B)
f’(3) = limΔx→0limii.

f(3+Δx)−f(3)Δxnnnnnnnnnnn = limΔx→0limii.

(3+Δx)2−32Δxnnnnnnnnn

= limΔx→0limii.

6Δx+(Δx)2Δxnnnnnnnnn = limΔx→0limii(6+Δx) = 6

注　上の(Δx)2 の代わりに Δx2 と書くとダメです。数学では，Δx2 は別の意味になります。

(答案C)
f’(3) = limx→3limii.

f(x)−f(3)x−3nnnnnnn = limx→3limii.

x2−32x−3nnnn

= limx→3limii.

(x−3)(x+3)x−3nnnnnnnnnn = limx→3limii(x+3) = 6

(例2)　f(x) = x2−x のとき，f’(a) を求めなさい。

(答案A)
f’(a) = limh→0limii.

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnn

= limh→0limii.

{(a+h)2−(a+h)}−{a2−a}hnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

{(a2+2ah+h2)−(a+h)}−{a2−a}hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

2ah−h+h2hnnnnnnnn

= limh→0limii(2a−1+h) = 2a−1

(答案B) (答案C)　···　略

(話題)
１　数学の教材では，「それ以前に習った内容」は全部前提になります。(例１)の(答案A)の説明で　··· 　f(x) の　f はどこへ行った？　··· という質問が意外に多い。（昔習ったことなので覚えていないらしい。）
次の式を見て，思い出してください。

f(x) = x2 のとき，
　　f(3) = 32
　　f(3+h) = (3+h)2

２　数IIで登場する微分係数は，導関数の導入的な働きをしていて，後で習う導関数(微分)に x の値を代入すれば簡単に得られます。

◇問題2◇　次の微分係数を求めなさい。
○採点は，後でまとめて行います．
○分からないときは

を押すと途中計算が出ます．

(1)　f(x) = 2x2 のとき，f’(3) を求めなさい。

f’(3) = limh→0limii.

2(3+h)2−18hnnnnnnnnnn = limh→0limii.

12h+2h2hnnnnnnn

= limh→0limii(12+2h) =

(2)　f(x) = 3x+1 のとき，x = 1　における微分係数を求めなさい。

f’(1) = limh→0limii.

{3(1+h)+1}−{3+1}hnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

3hhnn =

(3)　f(x) =−x2 のとき，f’(a)　を求めなさい。

f’(a) = limh→0limii.

−(a+h)2+a2hnnnnnnnnnn = limh→0limii.

−2ah−h2hnnnnnnn

= limh→0limii(−2a−h) =

(4)　f(x) = x2+x+1 のとき，f’(b)　を求めなさい。

f’(b) = limh→0limii.

{(b+h)2+(b+h)+1}−{b2+b+1}hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

{(2b+1)h+h2}hnnnnnnnnnnn = limh→0limii{(2b+1)+h}

= +1

◇解説◇（発展問題）

(例１)
次の式を f’(a) で表わしなさい。

limh→0limii.

f(a+2h)−f(a)hnnnnnnnnnn

(考え方)
微分係数の定義　f’(a) = limh→0limii.

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn　が利用できるように変形します。特に，

lim□→0limii.

f(a+□)−f(a)□nnnnnnnnnnn = f’(a)　が成り立つことに注意して，

lim2h→0limii.

f(a+2h)−f(a)2hnnnnnnnnnnn = f’(a)　を作ります。

−−−−−−−−−

limh→0limii.

f(a+2h)−f(a)hnnnnnnnnnnn = lim2h→0limii.

f(a+2h)−f(a)2hnnnnnnnnnn · .

2hhnn

= lim2h→0limii.

f(a+2h)−f(a)2hnnnnnnnnnnn ×2 = 2f’(a)

(例２)
次の式を f(a),f’(a),g(a),g’(a) を用いて表わしなさい。

limx→alimii.

f(x)g(a)−f(a)g(x)x−annnnnnnnnnnnnn

limx→alimii.

f(x)g(a)−f(a)g(x)x−annnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii.

f(x)g(a)−f(a)g(a)+f(a)g(a)−f(a)g(x)x−annnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii.

{f(x)−f(a)}g(a)+f(a){g(a)−g(x)}x−annnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii{ ( .

f(x)−f(a)x−annnnnnnn)g(a)−f(a) ( .

g(x)−g(a)x−annnnnnnn ) }

= f’(a)g(a)−f(a)g’(a)

■問題3　次の式をf(a), f'(a) を用いて表わしなさい。

(1)　limh→0limii.

f(a+3h)−f(a−h)hnnnnnnnnnnnnn

(原式) = limh→0limii.

f(a+3h)−f(a)+f(a)−f(a−h)hnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

f(a+3h)−f(a)hnnnnnnnnnnn+lim−h→0limii.

f(a−h)−f(a)−hnnnnnnnnnn

= lim3h→0limii.

f(a+3h)−f(a)3hnnnnnnnnnn.

3hhnn+lims→0limii.

f(a+s)−f(a)snnnnnnnnn

= 3f’(a)+f’(a) = f’(a)

(2)　limh→0limii.

(a+h)f(a)−af(a+h)hnnnnnnnnnnnnnnnn

(原式) = limh→0limii.

af(a)+hf(a)−af(a+h)hnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii.

hf(a)−a{f(a+h)−f(a)}hnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limh→0limii{f(a)−a .

f(a+h)−f(a)hnnnnnnnnnn }

= f(a)−f'(a)

(3)　limx→alimii.

x2f(a)−a2f(x)x2−a2nnnnnnnnnnn

(原式) = limx→alimii.

x2f(a)−a2f(a)+a2f(a)−a2f(x)x2−a2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii.

(x2−a2)f(a)−a2{f(x)−f(a)}x2−a2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= limx→alimii{ f(a)−a2 .

f(x)−f(a)x2−a2nnnnnnnn }

= limx→alimii{ f(a)−a2 .

f(x)−f(a)x−annnnnnn.

1x+annn}

= { f(a)−a2 f’(a).

12ann}

= f(a)−.

ann f’(a)

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.6.2］

問題2　(4)式の最後の方で、2bh+h^2+h　/　h　となりますがその次で、分子全体をhで括ったらだめなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／17.1.24］

わかりやすいです！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[微分係数について／16.12.4］

例２　答案A f&rsquoになっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．セミコロンが１つ抜けていましたので追加しました．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります