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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓微分係数,連続,微分可能
↓積の微分
↓商,分数関数の微分
↓合成関数の微分
↓無理関数の微分
↓媒介変数表示のときの微分法
↓同(2)-現在地
↓陰関数の微分法
↓重要な極限値(1)_三角関数
↓三角関数の微分
↓三角関数の微分(2)
↓指数関数,対数関数の微分
↓対数微分法
↓微分（総合演習）
↓漸近線の方程式
↓同(2)
↓凹凸と変曲点
↓総合--増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線(1)
↓分数関数の増減.極値.漸近線
グラフの概形と漸近線（一覧）

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***
不定形の極限 微分係数 導関数の定義

接線の方程式 増減表 導関数の符号の求め方

*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

【要点】
(1)　x, y座標がそれぞれ第３の変数tを用いて

x=f(t) y=g(t)

…(*)

と表されるとき，tが定まると点P(x, y)が定まる．このとき，(*)を媒介変数表示，tを媒介変数という．

(2)　x, yが媒介変数で表される関数tを用いて表されるとき，その導関数（微分）は (3)　一般に，点P(a, b)を通り，傾きmの直線の方程式は y−b=m(x−a)
となるので，上記の媒介変数表示(*)についてt=t0のときの
［接線の方程式］は
［法線の方程式］は
(4)　動点P(x, y)の座標が，上記の媒介変数表示(*)で与えられるとき，その速度のx成分vxおよびy成分vyは

vx=.dxdtnn=f’(t) vy=.dydtnn=g’(t)

で与えられるので，時刻tにおける速度→vw=(vx , vy )は
で求められる．
　また，加速度→awのx成分axおよびy成分ayは

ax=.d2xdt2nnn=f”(t) ay=.d2ydt2nnn=g”(t)

で与えられるので，時刻tにおける加速度→aw=(ax , ay )は
で求められる．

問１媒介変数で表された次の関数について，導関数.dydxnnをtの関数として表してください．

x=t2+2t+1 y=t2−1

.dxdtnn=2t+2, .dydtnn=2t
だから .dydxnn=..dydtnn.dxdtnnnnn=.2t2t+2nnnn=.tt+1nnn

問２媒介変数で表された次の関数について，導関数.dydxnnをtの関数として表してください．

x=asint y=bcost

.dxdtnn=acost, .dydtnn=−bsint
だから .dydxnn=..dydtnn.dxdtnnnnn=−.bsintacostnnnnn=−.bantant

問３次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください．

x=t+sint y=1−cost

(t=.π2n)

.dxdtnn=1+cost, .dydtnn=sint
だから .dydxnn=..dydtnn.dxdtnnnnn=.sint1+costnnnnnn
t=.π2nのとき x=.π2n+1
y=1
.dydxnn=1
だから
y−1=x−( .π2n+1)
y=x−.π2n
※（参考）
　次の図のように，このグラフは標準的なサイクロイド曲線：［赤で示したもの］

x=t−sint y=1−cost

ではなく，それを上下反転して平行移動したもの：［青で示したもの］となっています．

問４次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における接線の方程式を求めてください．

x=t2−t y=t2+t

(t=1)

.dxdtnn=2t−1, .dydtnn=2t+1
だから .dydxnn=..dydtnn.dxdtnnnnn=.2t+12t−1nnnn
t=1のとき
x=0
y=2

.dydxnn=3
となって，接線の方程式は
y−2=3x
y=3x+2
※（参考）
　次の図のように，このグラフは放物線を傾けたものとなっています．

問５次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください．

x=et y=logt

(t=1)

.dxdtnn=et, .dydtnn=.1tn
だから m=.dydxnn=..dydtnn.dxdtnnnnn=..1tnetn=.1tetnn
m’=−tet
t=1のとき
x=e, y=0, m’=−e
となって，法線の方程式は
y=−e(x−e)
y=−ex+e2
※（参考）
　次の図の水色が接線，赤が法線になります．

問６次の媒介変数で表された曲線について，（　　）内のtの値に対応する点における法線の方程式を求めてください．

x=.2t2+1nnnn y=.2tt2+1nnnn

(t=2)

.dxdtnn=−.4t(t2+1)2nnnnn , .dydtnn=2.1−t2(t2+1)2nnnnn
だから m=.dydxnn=..dydtnn.dxdtnnnnn=.t2−12tnnnn
m’=−.2tt2−1nnnn
t=2のとき
x=.25n, y=.45n, m’=−.43n
となって，法線の方程式は
y−.45n=−.43n(x−.25n)
y=−.43nx+.43n
※（参考）
　媒介変数を消去して元のグラフをx, yの関係式で表すと，

.x2+y2=.4t2+1nnnn=2x
すなわち，
.(x−1)2+y2=1
これは，点(1, 0)を中心とする半径1の円になり，法線は中心を通ります．次の図の青色が接線，赤が法線になります．

問７動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき，（　　）内の時刻における速度ベクトル→vwを求めてください．

x=tlogt y=.ettn

(t=1)

.dxdtnn=log t+1, .dydtnn=.tet−ett2nnnnn
だから .→vw=(log t+1, .tet−ett2nnnnn)
t=1のとき
.→vw=(1, 0)
※（参考）
　次の図の青色が軌跡，矢印が速度になります．

問８動点の運動が時刻tの関数として次の媒介変数で表されているとき，（　　）内の時刻における速度ベクトル→vwを求めてください．

x=.√t+1√nnni y=.√t2+2√nnnni

(t=1)

..dxdtnn=.12.√t+1√nnninnnnn, .dydtnn=.t.√t2+2√nnnninnnnn
だから .→vw=( .12.√t+1√nnninnnnn , .t.√t2+2√nnnninnnnn )
t=1のとき
.→vw=( .12.√2√ninnn , .1.√3√ninn )=( ..√2√ni4nn , ..√3√ni3nn )
（参考）
　次の図の青色が軌跡，矢印が速度になります．

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