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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓微分係数,連続,微分可能
↓積の微分
↓商,分数関数の微分
↓合成関数の微分
↓無理関数の微分
↓媒介変数表示のときの微分法
↓同(2)
↓陰関数の微分法
↓重要な極限値(1)_三角関数
↓三角関数の微分-現在地
↓三角関数の微分(2)
↓指数関数,対数関数の微分
↓対数微分法
↓微分（総合演習）
↓漸近線の方程式
↓同(2)
↓凹凸と変曲点
↓総合--増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線(1)
↓分数関数の増減.極値.漸近線
グラフの概形と漸近線（一覧）

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***
不定形の極限 微分係数 導関数の定義

接線の方程式 増減表 導関数の符号の求め方

*** 高卒から大学初年度程度 ***
逆三角関数の微分法 マクローリン展開 偏微分

← PC用は別頁

（参考）
半径１の円（単位円）上の動点P(x,y)を考えると
y=sint
x=cost

角度がtからdtだけ増えたとき 右図の茶色で示した点から接線に沿って（弧の長さ≒斜辺の長さ）dtの直角三角形を描くと
緑で示した角が平行線の錯角で等しいから，この直角三角形の１つの角はtになる

(1) ${\displaystyle \frac{dy}{dt}=\cos t}$　したがって　y=sint → y'=cost

(2) 次に，図のようにtが第１象限の角の場合，tが増えるとxは減少する．そこでdxの符号は負になる．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\sin t}$　したがって　x=cost → x'=−sint
※この図は，第１象限の場合しか示せていないので，証明としてはやはり上に示した極限値を使った式で行う方がよい．

［例題１］
y = sin 3x の導関数を求めなさい。

［例題２］
の導関数を求めなさい。

○初めに問題を選び，次に選択肢を選びなさい。正しければ消えます。
○正誤いずれの場合も，解説を読むとができます．解説を読む場合でも読まない場合でも，新たに問題を選べば解答を再開できます．

${\displaystyle y=\cos u}$
${\displaystyle u=3x+2}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=-\sin u}$
${\displaystyle \frac{du}{dx}=3}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=-\sin u\times 3=-3\sin (3x+2)}$
${\displaystyle y=\sin u}$
${\displaystyle u=3x+2}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\cos u}$
${\displaystyle \frac{du}{dx}=3}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\cos u\times 3=3\cos (3x+2)}$
${\displaystyle y=\frac{1}{u}=u^{-1}}$
${\displaystyle u=\sin x}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=-u^{-2}=\frac{-1}{u^2}}$
${\displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{-1}{u^2}\times \cos x=\frac{-\cos x}{{\sin }^{2}x}}$
${\displaystyle y=\frac{1}{1-u}}$
${\displaystyle u=\tan x}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{(1-u{)}^2}}$
または${\displaystyle y=-\frac{1}{u-1}=-(u-1{)}^{-1}}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=-1\times (-1)(u-1{)}^{-2}=\frac{1}{(u-1{)}^2}}$
${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{(1-u{)}^2}\times \frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{(1-\tan x{)}^2}\times \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$
${\displaystyle =\frac{1}{\{(1-\tan x)\cos x{\}}^2}=\frac{1}{(\cos x-\sin x{)}^2}}$
${\displaystyle y=u^4}$
${\displaystyle u=\sin x}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$
${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=4u^3\times \cos x=4{\sin }^{3}x\cos x}$
${\displaystyle y=u^3}$
${\displaystyle u=\cos 2x}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=3u^2}$
${\displaystyle \frac{du}{dx}=-\sin 2x\times 2}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=3u^2\times (-2\sin 2x)=-6{\cos }^{2}2x\sin 2x}$
${\displaystyle y=\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}}$
${\displaystyle u=1+\sin x}$とおくと

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}}$
${\displaystyle \frac{du}{dx}=\cos x}$
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\times \cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$
１つ前の問題の結果を利用すると
${\displaystyle (\sqrt{1+\sin x}{)}^{\prime }=\frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$
次に,積の微分法を用いると
${\displaystyle y^{\prime }=(x{)}^{\prime }\sqrt{1+\sin x}+x(\sqrt{1+\sin x}{)}^{\prime }}$
${\displaystyle =\sqrt{1+\sin x}+x\times \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}=\frac{2(1+\sin x)+x\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}}$

拝見していて疑問がありました。 最後の問題の中で、 y=1/(1-tanx)を求める時、 y=1/(1-u)とおいて、 dy/du=1/(1-u)^2とされてるところで、 dy/duは分子が-1ではないでしょうか。 y=1/(1-u)=(1-u)^-1なので。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違いはないのですが，誤解を招きやすい表現がありましたので（←おい！）詳しく説明しました．