商，分数関数の微分

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「微分・導関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓微分係数,連続,微分可能

↓積の微分
↓商,分数関数の微分-現在地
↓合成関数の微分
↓無理関数の微分

↓媒介変数表示のときの微分法
↓同(2)
↓陰関数の微分法

↓重要な極限値(1)_三角関数
↓三角関数の微分
↓三角関数の微分(2)
↓指数関数,対数関数の微分
↓対数微分法

↓微分（総合演習）
↓漸近線の方程式
↓同(2)
↓凹凸と変曲点
↓総合--増減.極値.凹凸.変曲点.漸近線(1)
↓分数関数の増減.極値.漸近線
グラフの概形と漸近線（一覧）

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

微分係数

増減表

*** 高卒から大学初年度程度 ***

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== 商，分数関数の微分 ==

【公式】

（解説）
■商で表される関数

の導関数は，

で定義されます。

■ここで，本来の導関数の定義：に当てはめて，この式をｆ’(x)やｇ’(x)を用いて表すためには，分子の形に工夫を要します。f(x+h)g(x)　と　f(x)g(x+h)　では２つの関数が同時に変化しているので，次のイメージ図のように，一度に変化するのが１つの関数になるように，「つなぎ」の材料を引いて足す(引いて足せば元の式に等しい)という操作をします。

■図（緑）の経路を考えると，分子は f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)
={ f(x+h)-f(x) } g(x)-f(x) { g(x+h)-g(x) } となり，ｈ→0の極限移行により，

■青の経路から行けば，分子は f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x+h)+f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)
=-f(x+h){ g(x+h)-g(x) } + { f(x+h)-f(x) } g(x+h) となり，ｈ→0の極限移行により，
分子は　 -f(x)g’(x)+f’(x)g(x)

【要約】･･･商の導関数の公式

・・・　ｆ　から言えば，「負けて勝つ」

【例１】

y = \frac{1}{x + 2}

の導関数（微分）を求めてください．

（解答）
　分子1の微分は0,分母x+2の微分は1だから

y^{'} = \frac{0 \times (x + 2) - 1 \times (1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{0 - 1}{(x + 2)^{2}} = - \frac{1}{(x + 2)^{2}}

【例２】

y = \frac{3 x - 1}{2 x + 1}

の導関数（微分）を求めてください．

（解答）
　分子3x−1の微分は3,分母2x+1の微分は2だから

y^{'} = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 1) 2}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{6 x + 3 - 6 x + 2}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{5}{(2 x + 1)^{2}}

【例３】

y = \frac{x}{x^{2} - 1}

の導関数（微分）を求めてください．

（解答）
　分子xの微分は1,分母x2−1の微分は2xだから

y^{'} = \frac{1 (x^{2} - 1) - x (2 x)}{(x^{2} - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{(x^{2} - 1)^{2}} = \frac{- x^{2} - 1}{(x^{2} - 1)^{2}}

= - \frac{x^{2} + 1}{(x^{2} - 1)^{2}}

【例題1】
　xの関数

y = \frac{2}{x}

を微分してください．

解説を読む

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = \frac{0 \times x - 2 \times 1}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = \frac{2}{x} = 2 x^{- 1}

だから

公式　

y = x^{n} \to y^{'} = n x^{n - 1}

y^{'} = 2 \times (- 1) x^{- 2} = - \frac{2}{x^{2}}

…（答）

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【例題2】
　xの関数

y = - \frac{1}{x^{2}}

を微分してください．

解説を読む

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = - \frac{0 \times x^{2} - 1 \times 2 x}{x^{4}} = \frac{2}{x^{3}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = - \frac{1}{x^{2}} = - x^{- 2}

だから

公式　

y = x^{n} \to y^{'} = n x^{n - 1}

y^{'} = - (- 2) x^{- 3} = \frac{2}{x^{3}}

…（答）

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【例題3】
　xの関数

y = \frac{x}{x - 1}

を微分してください．

解説を読む

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = - \frac{1 \times (x - 1) - x \times 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 1}{(x - 1)^{2}}

= - \frac{1}{(x - 1)^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = x \times (x - 1)^{- 1}

だから

公式

y = f (x) g (x) \to y^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

により

y^{'} = 1 \times (x - 1)^{- 1} + x \times (- 1) (x - 1)^{- 2}

= \frac{1}{x - 1} - \frac{x}{(x - 2)^{2}} = \frac{x - 1 - x}{(x - 1)^{2}}

= \frac{- 1}{(x - 1)^{2}} = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}

…（答）

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【例題4】
　xの関数

y = \frac{x - 3}{2 x + 1}

を微分してください．

解説を読む

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = \frac{1 \times (2 x + 1) - (x - 3) \times 2}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{2 x + 1 - 2 x + 6}{(2 x + 1)^{2}}

= \frac{7}{(2 x + 1)^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = (x - 3) (2 x + 1)^{- 1}

だから

この微分を行うには，合成関数の微分法が必要になる

y = {f (x)}^{n} \to y^{'} = n f (x)^{n - 1} f^{'} (x)

y^{'} = 1 \times (2 x + 1)^{- 1} + (x - 3) \times (- 1) (2 x + 1)^{- 2} \times 2

= \frac{2 x + 1 - 2 x + 6}{(2 x + 1)^{2}} = \frac{7}{(2 x + 1)^{2}}

…（答）

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【例題5】
　xの関数

y = \frac{1}{x^{2} + 1}

を微分してください．

解説を読む

ア）商の微分法でやる場合

分子は(やられてから)−(やり返す) (分母)²

を使うと

y^{'} = \frac{0 \times (x^{2} + 1) - 1 \times 2 x}{(x^{2} + 1)^{2}} = - \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

…（答）
イ）積の微分法でやる場合

y = (x^{2} + 1)^{- 1}

だから

この微分を行うには，合成関数の微分法が必要になる

y = {f (x)}^{n} \to y^{'} = n f (x)^{n - 1} f^{'} (x)

y^{'} = - (x^{2} + 1)^{- 2} (2 x) = - \frac{2 x}{(x^{2} + 1)^{2}}

…（答）

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［問題］
次の関数の微分を求めなさい。
○初めに関数を選び，続いて導関数を選びなさい。正しく対応していれば消えます。
○間違った場合にはHELPが選べますが，HELPを見る場合でも見ない場合でも，問題を選び直せば解答を再開できます．

計算用紙を使って，ゆっくりやればできます．別の解き方で検算もすれば確実です

- - - ［関数］ - - -

- - - ［導関数］ - - -

解説

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[商，分数関数の微分について／17.5.21］

下の方でいいので、答えを載せて欲しいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一題でも間違ったら解説と答が出るようになっているのですが，この要望が来たということは全問正解で終わってしまった人だと考えられます．とはいえ，正解であっても答案を確かめたい人はあり得ますので，正解の場合でも解説が出る設定にしました．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります