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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓定積分
↓同(2)
↓同(3)-現在地
↓定積分で定義される関数
↓面積
↓絶対値付き関数の積分
↓曲線で囲まれた図形の面積(1)
↓曲線で囲まれた図形の面積(2)
↓曲線で囲まれた図形の面積(3)
体積

*** 数学Ⅲ（三角,無理,指数,対数関数を含む） ***
定積分の基本 定積分の置換積分 同(2)

定積分の部分積分 無理関数の定積分

三角関数（絶対値付き）の定積分

limΣと定積分の関係

閉曲線で囲まれた図形の面積 同(2)媒介変数

同(3) 定積分の漸化式 曲線の長さ

*** 高卒向け ***
回転体の体積 広義積分

重積分 簡単な重積分の計算

積分領域が変数に依存する場合の重積分

積分順序の変更 変数変換：ヤコビ行列式

【$x^n$の不定積分】
nが正の整数（1, 2, 3, …）のとき
${\displaystyle \int x^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{x}^{n+1}+C}$…(1)
ただし
${\displaystyle \int dx=x+C}$…(2)
一般に定数項の積分は
${\displaystyle \int kdx=kx+C}$…(3)

（注）
${\displaystyle \int dx}$は${\displaystyle \int 1dx}$の省略と決まっており，
${\displaystyle \int 0dx=0x+C=C}$などと間違ってはいけない．

(1)
${\displaystyle {\int }_1^3{x}^{2}dx}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{8}{3}}$ ${\displaystyle \frac{26}{3}}$ $8$ $26$

${\displaystyle {\int }_1^3{x}^{2}dx=[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_1^3={\displaystyle \frac{27}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{26}{3}}}$ …（答）

(2)
${\displaystyle {\int }_0^{2}4x^{3}dx}$

解説 やり直す

4 8 12 16

${\displaystyle {\int }_0^{2}4x^{3}dx=[x^4{]}_0^2=16-0=16}$…（答）

(3)
${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}dx}$

解説 やり直す

0 1 2 3

${\displaystyle \int dx}$は${\displaystyle \int 1dx}$の省略記号です．
${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}dx=[x{]}_{-1}^2=2-(-1)=3}$…（答）

(4)
${\displaystyle {\int }_3^{5}2xdx}$

解説 やり直す

4 9 16 25

${\displaystyle {\int }_{-3}^{5}2xdx=[x^2{]}_3^5=25-9=16}$…（答）

【不定積分】
${\displaystyle \int 2xdx=x^2+C}$ ←別→ ${\displaystyle \int 2tdt=t^2+C}$
【定積分】
${\displaystyle {\int }_1^{2}2xdx=[x^2{]}_1^2=4-1=3}$
${\displaystyle {\int }_1^{2}2tdt=[t^2{]}_1^2=4-1=3}$

(1)
${\displaystyle {\int }_1^2(3t^2+2t)dt}$

解説 やり直す

6 8 10 12

${\displaystyle {\int }_1^2(3t^2+2t)dt=[t^3+t^2{]}_1^2=(8+4)-(1+1)=10}$…（答）

(2)
${\displaystyle {\int }_2^{-1}(u^3+1)du}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{27}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{27}{4}}$ ${\displaystyle \frac{29}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{29}{4}}$

※定積分の上端が下端よりも小さいことは，全く問題ありません．そのまま計算すればよい．
一般には，次の関係が成り立ち，（下端）＜（上端），（下端）＞（上端）のいずれもあり得ます．
${\displaystyle {\int }_b^{a}f(x)dx=}$ ${\displaystyle -{\int }_a^{b}f(x)dx}$
${\displaystyle {\int }_2^{-1}(u^3+1)du=[{\displaystyle \frac{u^4}{4}}+u{]}_2^{-1}}$
$=({\displaystyle \frac{1}{4}}-1)-(4+2)=-{\displaystyle \frac{27}{4}}$…（答）

(3)
${\displaystyle {\int }_0^1(y-1)dy}$

解説 やり直す

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

※yがxの関数y=f(x)になっているときに，よく見慣れている積分
${\displaystyle {\int }_a^{b}ydx}$
は
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$
と同じもので，積分変数は$x$ですが，この問題は積分変数がyなので，事情が異なります．
${\displaystyle {\int }_0^1(y-1)dy=[{\displaystyle \frac{y^2}{2}}-y{]}_0^1}$
$=({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)-(0)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$…（答）

(4)
${\displaystyle {\int }_2^{4}dp}$

解説 やり直す

0 2 4 6

${\displaystyle {\int }_2^{4}dp=[p{]}_2^4=4-2=2}$…（答）

【要点】多項式は，展開してから積分する．
≪例1≫
${\displaystyle {\int }_0^1(x+1)(x-1)dx=}$${\displaystyle {\int }_0^1(x^2-1)dx}$
≪例2≫
${\displaystyle {\int }_0^1(x+1{)}^{2}dx=}$${\displaystyle {\int }_0^1(x^2+2x+1)dx}$
≪参考≫　数学Ⅱでは，「多項式は展開してから積分する」というのが基本ですが，発展学習として次の公式まで含める場合があります．（不定積分に関して）
　この公式は，数学Ⅱ+数学Bの範囲では，数学的帰納法で証明できますが，数学Ⅲでは合成関数の微分法もしくは置換積分の内容となっています．
${\displaystyle \int (ax+b{)}^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{(n+1)a}}(ax+b{)}^{n+1}+C}$
${\displaystyle \int (2x+3{)}^{4}dx={\displaystyle \frac{1}{5\times 2}}(2x+3{)}^5+C}$

(1)
${\displaystyle {\int }_0^1(x+1{)}^{2}dx}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ ${\displaystyle \frac{7}{3}}$

${\displaystyle {\int }_0^1(x+1{)}^{2}dx=}$${\displaystyle {\int }_0^1(x^2+2x+1)dx}$
$=[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+1{]}_0^1=({\displaystyle \frac{1}{3}}+1+1)-(0)={\displaystyle \frac{7}{3}}$

(2)
${\displaystyle {\int }_{-3}^{0}x(x+2)dx}$

解説 やり直す

−2 −1 0 2

${\displaystyle {\int }_{-3}^{0}x(x+2)dx=}$${\displaystyle {\int }_{-3}^0(x^2+2x)dx}$
$=[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2{]}_{-3}^0=(0)-(-9+9)=0$…（答）

(3)
${\displaystyle {\int }_{-1}^1(t+1)(t+2)dt}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{5}{3}}$ ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ ${\displaystyle \frac{11}{3}}$ ${\displaystyle \frac{14}{3}}$

${\displaystyle {\int }_{-1}^1(t+1)(t+2)dt=}$${\displaystyle {\int }_{-1}^1(t^2+3t+2)dt}$
$=[{\displaystyle \frac{t^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2+2t{]}_{-1}^1=({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+2)-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-2)={\displaystyle \frac{14}{3}}$…（答）

(4)
${\displaystyle {\int }_{-2}^1(2y+1{)}^{2}dy}$

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11 9 7 5

${\displaystyle {\int }_{-2}^1(2y+1{)}^{2}dy=}$${\displaystyle {\int }_{-2}^1(4y^2+4y+1)dy}$
$=[{\displaystyle \frac{4}{3}}{y}^3+2y^2+y{]}_{-2}^1=({\displaystyle \frac{4}{3}}+2+1)-(-{\displaystyle \frac{32}{3}}+8-2)=9$ …（答）

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分かりやすいです 中身が何乗になってるときの公式(説明下手ですみません)とか他の公式も一緒に教えてほしいです泣
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問と回答とが正確に対応しているかどうか分かりませんが，この教材は数学Ⅱの定積分の教材です．
参考書や授業の中では，確かに１次式のｎ乗の積分を扱う場合もあるようですが，その証明には置換積分（または合成関数の微分法）を必要としますので，数学Ⅱで教えるのは無理があるようです．したがって，数学Ⅱで扱っている場合は，ただ単に頭ごなしに「覚えとけ！」と言っているだけで良心的な教え方には見えないので私の場合は数学Ⅲで教えるようにしています．

変数文字の種類である程度想定できるので、問題としては同じ文字を使った方が良い感じがした。 久々に（４０年ぶりに）定積分を説いてみた。意外と面白い。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ある程度分かっている人の感想のようですが，この小項目は「区間の両端が定数であるとき，積分変数と被積分関数が同じ文字であれば，定積分の値は内部変数の種類に依存しない」ということを学ぶための教材なので，異なる変数で練習しないとそもそも練習にならないのです．
「それらはみな同じものだ」ということが分かっていると，何をクドクドと同じ話を繰り返しているのかというように見えますが，あなたはそのハードルを昔に無事に通過しているので，何がハードルなのか頼りなく感じるのかもしれません．