定積分の部分積分法

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

定積分

同(3)

面積

*** 高卒向け ***

広義積分

重積分

== 定積分の部分積分法 ==
○不定積分に関する部分積分の公式
$\int f(x)g\apos (x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos (x)g(x) dx$
から定積分に関する部分積分の公式

$\int_a^b f(x)g\apos (x)dx=\Big[ f(x)g(x)\Big]_a^b-\int_a^b f\apos (x)g(x) dx$

が導かれる．

（詳細）
　積の微分法の公式
$\left{ f(x)g(x)\right}\apos=f\apos (x)g(x)+ f(x)g(x)\apos$
の両辺を区間a≦x≦bにおいて積分すると
　左辺の $\left{ f(x)g(x)\right}\apos$ の１つの原始関数は $f(x)g(x)$ だから
　左辺は $\Big[ f(x)g(x)\Big]_a^b$ になる．
　右辺は
$\int_a^b f\apos(x)g(x)dx + \int_a^b f(x)g\apos(x) dx$
したがって
$\Big[ f(x)g(x)\Big]_a^b=\int_a^b f\apos(x)g(x)dx + \int_a^b f(x)g\apos(x) dx$
移項すると，定積分に関する部分積分の公式が得られる．
$\int_a^b f(x)g\apos (x)dx=\Big[ f(x)g(x)\Big]_a^b- \int_a^b f\apos (x)g(x) dx$

※f' (x)g(x)とf(x)g'(x)はどちらが左辺でどちらが右辺でもよい．すなわち，次の式でもよい．
$\int_a^b f\apos (x)g(x)dx=\Big[ f(x)g(x)\Big]_a^b- \int_a^b f(x)g\apos (x) dx$

【例】
$\int_0^1 xe^x dx$
の値を求めてください．

（解答）

f(x)=x	微分する→	f '(x)=1
g(x)=ex	←積分する	g'(x)=ex

x=f(x)
ex=g'(x)
とおいて，左辺が
$\int_{0}^{1} f(x)g\apos (x)dx$
になっているものとして公式を適用する．（左辺は表の水色背景色の組だとする）
　表のように，あらかじめf(x)を微分したものf '(x)
及びg'(x)を積分したものg(x)も求めておく．
$\int_a^b f(x)g\apos (x)dx=\Big[ f(x)g(x)\Big]_a^b-\int_a^b f\apos (x)g(x) dx$
に当てはめると
$\int_0^1 xe^xdx=\Big[xe^x \Big]-\int_0^1 e^x dx$
$=(e-0)-\Big[e^x \Big]_0^1=e-(e-1)=1$ …（答）

【問題】　次の空欄を埋めなさい。

空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．

(1)

x sinx dx

x , cosx

(2)

x log x dx

logx , x , 4

(3)

log x dx

logx , x

(4)

(x−1)(x−2)2 dx

3 , 12

(5)

ex sin x dx

◇考え方◇　直接的には値が求まらないとき，= Iとおいて I の方程式を解く．
　I = (···)−I　→ I =

　I = (･･･) + I型だけは不可．それ以外は，I = (･･･) ± kI 型になればすべて求まる．
※ 1回の部分積分で自分自身 I が登場しなければ，部分積分を２回行う．
(ただし，ある関数を上げて下げると何も残らないので注意．上げるなら2回上げること．)
( )は左辺の初めの形

下げる：( f ) = sin x　→ f' = cos x
　　　　g = ex ← (g') = ex：上げる

exsinx dx=ex −ex dx

=0−excosx dx

( )は左辺の初めの形

下げる：(p) = cos x　→ p' =−sin x

　　　　q = ex ← (q') = ex：上げる

=−(ex cos x + ex sin x dx )

=−(−eπ−)−ex sin x dx

I = eπ + 1−I

I =

sinx , cosx , 1

(6)

(log x)2 dx

x , 2 , e

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