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【 要約 】
１の虚数３乗根の１つをωとするとき 　　ω3=1 （ ω≠1 ）···(A)
　　ω2+ω+1=0 ···(B) が成り立つ．

■続く→■

（覚え方） 　　ω3=1 ···(特急券)
　　ω2+ω+1=0 ···(急行券) 「特急券」と「急行券」を両方とも使って，次数を下げる．

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(1)
${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}$

解説 やり直す

1 2 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ −1 −2 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\omega }^7={\omega }^6\times \omega =({\omega }^3{)}^2\times \omega =1^2\times \omega =\omega$
だから
${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}=\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}$…(*1)
ここで（上の教材で「急行券」と書いてある式）
${\omega }^2+\omega +1=0$
の両辺を$\omega$で割ると
$\omega +1+{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=0$
$\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=-1$…(*2)
(*2)→(*1)
${\omega }^7+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^7}}=-1$ …（答）

(2)
${\omega }^8+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^8}}$

解説 やり直す

1 2 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ −1 −2 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\omega }^8={\omega }^6\times {\omega }^2=({\omega }^3{)}^2\times {\omega }^2=1^2\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\omega }^8+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^8}}={\omega }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}$
$={\omega }^2+{\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }^3}}$
$={\omega }^2+\omega$
$=-1$ …（答）

(3)
nが正の整数のとき${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}$の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，2
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説 やり直す

1 2 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ −1 −2 $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n=({\omega }^3{)}^k=1^k=1$
だから
${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}=1+1=2$
イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+1}=({\omega }^3{)}^k\times \omega =1^k\times \omega =\omega$
だから
${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}=\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=\omega +{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^3}}=\omega +{\omega }^2=-1$
　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+2}=({\omega }^3{)}^k\times {\omega }^2=1^k\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\omega }^n+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^n}}={\omega }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}={\omega }^2+{\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }^3}}={\omega }^2+\omega =-1$
したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

(4)
${\displaystyle \frac{{\omega }^{10}}{{\omega }^{10}+1}}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

解説 やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ ${\omega }^2$ $-{\omega }^2$

${\omega }^{10}=({\omega }^3{)}^3\times \omega =1^3\times \omega =\omega$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^{10}}{{\omega }^{10}+1}}={\displaystyle \frac{\omega }{\omega +1}}$
ここで
${\omega }^2+\omega +1=0$
だから
$\omega +1=-{\omega }^2$
したがって
${\displaystyle \frac{\omega }{\omega +1}}={\displaystyle \frac{\omega }{-{\omega }^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{\omega }}=-{\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^3}}=-{\omega }^2$ …（答）

(5)
${\displaystyle \frac{{\omega }^{11}}{{\omega }^{11}+1}}$
の値に等しいものを次の中から選んでください

解説 やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ ${\omega }^2$ $-{\omega }^2$

${\omega }^{11}=({\omega }^3{)}^3\times {\omega }^2=1^3\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^{11}}{{\omega }^{11}+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2+1}}$
ここで
${\omega }^2+\omega +1=0$
だから
${\omega }^2+1=-\omega$
したがって
${\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{-\omega }}=-\omega$ …（答）

(6)
nが正の整数のとき${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}$の値は
ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}$
イ）n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，(次の値から選んでください)

解説 やり直す

1 −1 $\omega$ $-\omega$ ${\omega }^2$ $-{\omega }^2$

ア）n=3k (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n=({\omega }^3{)}^k=1^k=1$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
イ）i) n=3k+1 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+1}=({\omega }^3{)}^k\times \omega =1^k\times \omega =\omega$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^n}{({\omega }^n{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{\omega }{{\omega }^2+1}}={\displaystyle \frac{\omega }{-\omega }}=-1$
　ii) n=3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，
${\omega }^n={\omega }^{3k+2}=({\omega }^3{)}^k\times {\omega }^2=1^k\times {\omega }^2={\omega }^2$
だから
${\displaystyle \frac{{\omega }^n}{{\omega }^{2n}+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^n}{({\omega }^n{)}^2+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^4+1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{\omega +1}}={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{-{\omega }^2}}=-1$
したがって，
n=3k+1, 3k+2 (k=1, 2, 3, …)のとき，−1…（答）

すみません💦ω17+1/ω17-1=ってなんになりますか？ 分数になると分からなくなる、
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当教材にある問題については，質問に答えますが，各自の宿題などについては原則として回答していません．
　そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に答えて，各自の答は各自で考えてもらうことがあります．
の値を求めたい場合
そのページの用語で［特急券］を使うと，


次に，そのページの用語で［急行券］を使うと
より

問題1ー5のkは何故はずれるんですか？ωの6k乗は1の2k乗になるんじゃないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「特急券」は使いましたか？ω3=1だからω3k=(13)k=1k=1, ω6k=(13)2k=12k=1だよね．他に何か言う必要ありますか？

ω^2もωと同様にω~2＋ω＋１が成り立つという証明と共約複素数にも触れたほうがいいかなと思った
＝＞［作者］：連絡ありがとう．証明も共約複素数のことも書いてありますが，明示的に示してないということかな？

非常にわかりやすい 練習問題があるのは高評価
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最初に因数分解をすれば良いということが分かれた
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

教科書を学校に忘れて演習問題を解けずに困っていたのですが、これを見ながらだと演習問題を解くことができました！ 要点だけをまとめていて、とっても見やすかったです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．