判別式

■問題１
　次の方程式の解を判別せよ．　[ 1問 / 全6問中 ]

　　3x2+3x+2=0

【要約】
○　係数が実数である２次方程式 ax2+bx+c=0 （ a≠0 ）
について D=b2−4ac　を判別式という． ○　D>0のとき，異なる２つの実数解をもつ
　　D=0のとき，（実数の）重解をもつ
　　D<0のとき，異なる２つの虚数解をもつ
　（※　単に「実数解をもつ」に対応するのは，D≧0 である．）

２次方程式が ax2+2b’x+c=0 （ a≠0 ）の形をしているとき（１次の係数が偶数であるとき）は，解の公式は

x=.

−b’±.

√b’2−ac√nnnnnniannnnnnnnnnnn

と書ける．これに対応して，判別式も次の形が用いられる． D’=b’ 2−ac 実際には，この値は D=b2−4ac の .

14n になっているので .

D4n とも書く．
　すなわち，.

D4n=b’ 2−ac

前略　いつも楽しく老化防止に問題演習をさせていただいています。ありがとうございます。ブラウザの不具合かもしれませんが、最初の■問題１の[採点する][やり直す][次の問題]のうち、[採点する][やり直す]がずれて隠れてしまい、[次の問題]のタブを２回ずつ押して先に進みましたのでご報告します。草々（17.6.26）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．頁を更新したときにボタンが飛んでしまったようです．

素晴らしい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

■解説 ◇判別式とは◇ 　係数が実数であるような２次方程式 ax2+bx+c=0 から虚数解が出てくることがある．その原因はどこにあるのかと考えてみると･･･ ○　２次方程式の解の公式 x=.−b±.√b2−4ac√nnnnnni2annnnnnnnnnn において，「係数 a , b , c が実数である限り」青色で示した箇所 2a,−b からは虚数は出てこない．.√−2√nni=.√2√ni i のように根号の中が負の数のときだけ虚数が登場する． ○　また，x=.−b±.√0√ni2annnnnnn=.−b2ann のように，根号の中が 0 のときは，２つの数に分かれずに，重なって１つの解になる（重解という）． ○　根号の中が正の数になるときは，２つの実数解になる． ●　以上のように，２次方程式がどのような種類の解を持っているか（「２つの異なる実数解」「実数の重解」「２つの異なる虚数解」）は，根号の中の式 b2−4ac の符号で決まる． ●　２次方程式の解の公式における根号の中の式を，判別式と呼び D で表わす．すなわち【要約】 ○　係数が実数である２次方程式 ax2+bx+c=0 （ a≠0 ）について D=b2−4ac　を判別式という． ○　D>0のとき，異なる２つの実数解をもつ　　D=0のとき，（実数の）重解をもつ　　D<0のとき，異なる２つの虚数解をもつ　（※　単に「実数解をもつ」に対応するのは，D≧0 である．）	（補足説明）　「係数が実数であり」かつ「２次方程式」であるときだけ，判別式によって「２つの異なる実数解」「実数の重解」「２つの異なる虚数解」の判別ができる． (♪)　２次方程式の解の公式は，係数が複素数のときでも適用できる，例えば x2+ix+1=0 の解は， x=.−i±.√i2−4√nnnni2nnnnnnnnnn=.−i±.√5√nii2nnnnnnn になり，元の係数が虚数の場合，根号以外の部分からも虚数が登場するので，根号の中の符号を調べても「解の種類は判別できない」． (♪)　x2 の係数が 0 になっている場合（１次方程式になっているもの）には判別式というものはないので，x2 の係数が 0 かどうか分からないような文字になっているとき，うっかり判別式を使うことはできない．たとえば，ax2+(a+1)x+(a+2)=0 の解を判別したいとき，いきなり判別式は D=(a+1)2−4a(a+2) … などとしてはいけない．１次方程式には判別式はないので，この議論ができるのは，a≠0 のときである．（ a=0 のときは，見れば分かる：0x2+x+2=0 すなわち，１次方程式 x+2=0 には，実数解が１つある．）下記の問題３参照↓ (♪)　３次以上の高次方程式にも判別式というものを考えることができるが高校では扱わない．　すなわち，解と係数の関係からは， α+β=−.ban , αβ=.can より (α−β)2=(α+β)2−4αβ=(.ban)2−4 .can =.b2−4aca2nnnnnn=.Da2n が成り立つから α=β ⇔ D=0 が成り立つ．この話が３次以上の場合に拡張できる． (♪)　最初に学んだときに，よくある間違いとして， .√b2−4ac√nnnnnni 　を判別式だと思ってしまうことがある．　これは初歩的なミスで，判別式は根号の中の部分，正しくは D=b2−4ac なので，初めに正しく覚えよう．
［例題１］　次の２次方程式の解を判別せよ． (1)　x2+5x+2=0 （答案）　D=52−4·1·2=17>0 だから「異なる２つの実数解をもつ」 (2)　x2+2x+1=0 （答案）　D=22−4·1·1=0 だから「重解をもつ」（※　単に「重解をもつ」でよい．）（※　D=22−4·1·1=0=0 などとはしないように．重解のときは D の値とその符号の判断は同時に言える．）	(3)　x2+2x+3=0 （答案）　D=22−4·1·3=−8<0 だから「異なる２つの虚数解をもつ」 ※　以上のように，判別式の「値」がいくらになるかということと，それにより「符号がどうなるのか（ <0 , >0 の部分）」という判断の２段階の根拠を示して，「２つの異なる実数解」「実数の重解」「２つの異なる虚数解」をいう．（重解のときだけは，値と符号が同じなので１段階）［例題２］　x2+5x+a=0 が重解をもつように定数 a の値を定めよ．（答案）　D=52−4a=0 より，a=.254nn
２次方程式が ax2+2b’x+c=0 （ a≠0 ）の形をしているとき（１次の係数が偶数であるとき）は，解の公式は x=.−b’±.√b’2−ac√nnnnnniannnnnnnnnnnn と書ける．これに対応して，判別式も次の形が用いられる． D’=b’ 2−ac 実際には，この値は D=b2−4ac の .14n になっているので .D4n とも書く．　すなわち，.D4n=b’ 2−ac ［例題３］　x2+2x+3=0 の解を判別せよ．（答案）　D’=12−3=−2<0 だから「異なる２つの虚数解をもつ」	（補足説明） ※　この公式を使えば，係数が小さくなるので式が簡単になるという利点がある．　しかし，この公式が使える場合に，上の例題(2)(3)で行ったように，元の D で計算していても，間違いにはならない．ただ常識的には， D’ の公式が使える場面で，元の D で計算するのは，初歩的なことが分かっていないのでは？と疑われて「かなりかっこ悪い」．（　D’ の公式が使えたら使う方がよい．） ※　この公式は，a , b , c が整数であるか又は整式であるときに計算を簡単にするものなので，整数・整式という条件を外してしまえば，どんな２次方程式でもこの D’ の公式が使えて，意味が失われてしまう： x2+5x+2=0 を x2+2·.52nx+2=0 と読めば， D’=(.52n)2−2=.174nn は「間違いではない」が，分数計算になって元の D より難しくなっているので，「このような変形をする利点はない」．

(1) ７ｘ²＋６ｘ＋２＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(２) ｘ²－５ｘ＋２＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(3) ｘ²－５ｘ＋７＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(4) －ｘ²＋３ｘ－５＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(5) ９ｘ²＋12ｘ＋４＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(6) ２ｘ²－４ｘ＋３＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(7) ｘ²－ｘ＋１＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(8) ｘ²＋６ｘ＋９＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(9) ｘ²＋６ｘ＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ
(10) ７ｘ²＋２＝０	異なる２つの実数解をもつ重解をもつ異なる２つの虚数解をもつ

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※問題２，問題３は「やり直す」ボタンで問題の係数を変更できます※ ■問題２　x についての次の２次方程式が重解をもつように定数 a の値を定めよ．　 [ 1問 / 全4問中 ] [採点する] [やり直す] [次の問題] 　　2x2+5x+a=0 a=.nnn
■問題３　　 [ 1問 / 全3問中 ] [採点する] [やり直す] [次の問題] 　　a を実数の定数とするとき，x2+ax+6a=0 の解を判別せよ．　　　　a< , <a のとき，異なる２つの実数解をもつ　　　　a= , のとき重解をもつ　　　　<a< のとき，異なる２つの虚数解をもつ