→ 携帯版は別頁

（Ａ）置き換えによって２次方程式に直せるもの
（Ｂ）因数定理などにより因数分解して次数を下げる方法

（Ｃ）ド・モアブルの定理によって２項方程式を解く方法
（Ｄ）解の公式による（３次：カルダノの方法，４次：フェラリの方法）
（Ｅ）数学ソフトを用いて解く方法

（Ａ）[1]　複２次方程式

【例 A.1.1】
x4−5x2+4=0

X2−5X+4=0
(X−1)(X−4)=0
X=1 , 4

x2=1よりx=±1

x2=4よりx=±2

この問題ではXすなわちx2が正の平方数であったが，
Xが平方数でなければxは無理数になり（例A.1.2），
Xが負の数であればxは虚数になる（例A.1.3）

【例 A.1.2】
x4−7x2+12=0

X2−7X+12=0
(X−3)(X−4)=0
X=3 , 4

x2=3よりx=±.√3√ni

x2=4よりx=±2

【例 A.1.3】
x4−2x2−3=0

X2−2X−3=0
(X+1)(X−3)=0
X=−1 , 3

x2=−1よりx=±i

x2=3よりx=±.√3√ni

(*) Xが虚数になるとき，±.√i√niのような答は高校では最終形として認めていないことに注意．
高校では，そもそも複素数とは実数a , bと虚数単位iを用いてa+biの形に書ける数のことを言うのでa+biの形で答えなければならない．（例A.1.4）

【例 A.1.4】
x4+4=0

X2+4=0
X2=−4
X=±2i

x2=2iより(a+bi)2=2iとなる実数a , bを求める
a2−b2=0…(1)
ab=1…(2)
(1)より （その１）a=bのとき
(2)に代入　b2=1 → b=±1
よって，a=1 , b=1またはa=−1 , b=−1
したがって，x=1+i, −1−i
（その２）a=−bのとき
(2)に代入　b2=−1 → bは実数でなければならないから，ここからは解は出ない

x2=−2iより(a+bi)2=−2iとなる実数a , bを求める
a2−b2=0…(1)
ab=−1…(2)
(1)より （その１）a=bのとき
(2)に代入　b2=−1 → bは実数でなければならないから，ここからは解は出ない
（その２）a=−bのとき
(2)に代入　b2=1 →a=−1 , b=1またはa=1 , b=−1
したがって，x=−1+i , 1−i

【問題　A.1.1】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4−13x2+36=0

【問題　A.1.2】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4−3x2+2=0

【問題　A.1.3】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4−x2−2=0

【問題　A.1.4】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4+1=0

（Ａ）[2]　複２次方程式の発展形

【例 A.2.1】
(x2+5x+4)(x2+5x+6)−24=0

(X+4)(X+6)−24=0
X2+10X=0
X=0 , −10

x2+5x=0よりx=0 , −5

x2+5x=−10よりx2+5x+10=0
$x={\displaystyle \frac{-5\pm \sqrt{15}i}{2}}$

この問題では「同じ２次式x2+5xが２回登場したので」これをXとおくことにより２次方程式にすることができたが，初めから同じ２次式が見えている場合だけでなく，工夫して展開すれば同じ２次式が登場するようにできる場合もある（例A.2.2）

【例 A.2.2】
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9

x+1とx+7を組合せ，x+3とx+5を組合せると２つともx2+8x+...の形になる

(X+7)(X+15)=9
X2+22X+96=0
(X+6)(X+16)=0
X=−6 , −16

x2+8x=−16よりx2+8x+16=0→x=−4（重解）

x2+8x=−6よりx2+8x+6=0
２次方程式の解の公式を使って解くと
$x=-4\pm \sqrt{10}$

【問題　A.2.1】　次の４次方程式の解を求めてください．
(x2+2x+2)(x2+2x−1)=10

【問題　A.2.2】　次の４次方程式の解を求めてください．
(x−1)x(x+1)(x+2)=24

（Ａ）[3]　相反方程式

【例 A.3.1】
x4+2x3−6x2+2x+1=0

一般に$x^n+{\displaystyle \frac{1}{x^n}}$は$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$で表せる．
$(x+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^2$
$=x^2+2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$だから
$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$
$=(x+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^2-2$

$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=2$より
x2+1=2x→(x−1)2=0→x=1（重解）

$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=-4$より
x2+1=−4x→x2+4x+1=0
２次方程式の解の公式を使って解くと
$x=-2\pm \sqrt{3}$

相反方程式の解が虚数になるときは，上記のA.1.3 (*) と同様にa+biの形で答えなければならない．

【問題　A.3.1】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4+2x3−22x2+2x+1=0

【問題　A.3.2】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4−x3−10x2−x+1=0

（Ｂ）　因数定理などにより因数分解して次数を下げる方法

※因数定理を使って，因数を１つ見つけて割り算を行えば，次の(1)の例のように４次方程式→３次方程式へと次数を下げることができますが，
さらに，３次方程式を解くために，因数を見つけて割り算を行い３次方程式→２次方程式へと次数を下げる必要があります．（この作業は大変です）

しかし，次の(2)の例のように４次方程式の段階で一度に２つの因数を見つけておくと，２次式で割ることによって４次方程式→２次方程式へと次数を２つ下げることができます．できる限りこちらの方法を取る方がよいでしょう．ただし，割る式は「展開した形」でなければできませんので注意

【例 B.1】
x4+2x3−3x2−4x−12=0

f(x)=x4+2x3−3x2−4x−12とおく
f(2)=0となるからf(x)はx−2で割り切れる．
割り算を行う

先ほどと同様の事情で，6の約数を（符号は正負ともあり）調べる．

p=±1, ±2, ±3, ±4, ±6と順に試してみてg(p)=0となるものを探す． g(−3)=0となるからg(x)はx+3で割り切れる．
割り算を行う

以上により，f(x)=(x−2)(x+3)(x2+x+2)となるから
f(x)=0の解は
x−2=0からx=2
x+3=0からx=−3

x2+x+2=0から$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}}$

f(2)=0 , f(−3)=0となるからf(x)は(x−2)(x+3)すなわちでx2+x−6割り切れる．
割り算を行う

以上により，f(x)=(x−2)(x+3)(x2+x+2)となるから
f(x)=0の解は
x−2=0からx=2
x+3=0からx=−3

x2+x+2=0から$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}}$

【問題　B.1.1】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4−3x3−5x2+29x−30=0

【問題　B.1.2】　次の４次方程式の解を求めてください．
x4−6x3+10x2+2x−15=0

因数定理で因数を見つける方法として，通常は正負の整数，分数までを考え，無理数や虚数までは思いつかないのが普通だから，因数分解した結果が
(2x−1)(3x+2)(x2−x+1)=0
となるような問題
6x4−5x3+3x2+3x−2=0
では

$f({\displaystyle \frac{1}{2}})=0,f(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=0$を思いつかなければ問題が解けません．（x2−x+1=0の方からは虚数解が出るので，普通はこの因数は見つからない）

整数係数で
6x4−5x3+3x2+3x−2=(ax+b)(cx3+dx2+ex+f)
のように因数分解できるとすれば， となるはずだから，aは6の約数（正負ともあり），bは−2の約数（正負ともあり）になります．

最高次の係数6の約数を分母とし，
定数項−2の約数を分子とする
正負の分数すべての組合せを考えて試せばよいことになります．
⇒ 分母が１のものは整数でf(±1) , f(±2)
　分母が２，３，６のものでも重複するものは飛ばします
$f(\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}),f(\pm {\displaystyle \frac{1}{3}}),f(\pm {\displaystyle \frac{2}{3}}),f(\pm {\displaystyle \frac{1}{6}}),f(\pm {\displaystyle \frac{5}{6}})$
これらを試してみたら

$f({\displaystyle \frac{1}{2}})=0,f(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=0$が見つかったということです．
＃長編小説=根性物語になります＃

【例 B.2】
4x4−8x3−11x2+13x−3=0

f(x)=4x4−8x3−11x2+13x−3とおくと
$f({\displaystyle \frac{1}{2}})=0,f(-{\displaystyle \frac{3}{2}})=0$
となるからf(x)は(2x−1)(2x+3)すなわちで4x2+4x−3で割り切れる．
割り算を行うとf(x)=(4x2+4x−3)(x2−3x+1)となるから
f(x)=0の解は
$x={\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$

【問題　B.2.1】　次の４次方程式の解を求めてください．
6x4+11x3−9x2−x+1=0

【問題　B.2.2】　次の４次方程式の解を求めてください．
6x4+5x3−5x2−20x−6=0

※高校ではめったに出さない問題
　x4−x3+5x−3=0のような問題では，虚数解と無理数解しかないので，因数定理を使って次数を下げることはできません．
偶然にでも(x2−2x+3)(x2+x−1)=0という因数分解を思い付かない限りこの方程式を解くのは困難です．
解は
$x=1\pm \sqrt{2}i,{\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}}$
（※こんな問題でも，コンピュータでwxMaximaを使えば，問題を書けば答が出ます．）

【例 B.3】
4x4+8x−3=0

左辺を因数分解すると（なぜ思いつくのかまでは答案に書かなくてもよい）
(2x2−2x+3)(2x2+2x−1)=0となるから
$x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}i}{2}},{\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}}$

（B)(例１）のⅩ3乗＋４Ⅹ２乗＋５Ⅹ＋６÷Ⅹ＋３の途中式が一部間違っています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2乗が抜けていたので訂正しました．