問題 答案
■定積分の部分積分法
次の空欄を埋めなさい。(なお，空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．)
(1)

x sinx dx
◇考え方◇　sinx だけならば積分が求められるが x が掛けてあるので求められない
→ x を微分する側：現在 f の側とする．

( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = x　→ f' = 1　
　　　　g =−cosx ← (g') = sinx：上げる



x sinx dx　= - cosx + dx

= (0−0) +(1−0) = 1
(2)

x log x dx
◇考え方◇　log x の積分が求められない
→ log xを微分する側：現在 f の側とする．

( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = log x　→ f' = 　

　　　　g = ← (g') = x：上げる


x log x dx = − dx

= (−0)−dx = −

=

(3)

log x dx
◇考え方◇　log x の積分が求められない
→ 1·log x と考えて，log x を微分する側：現在 f の側とする．

( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = log x　→ f' =

　　　　g = x ← (g') = 1：上げる


log x dx = x − x dx

= (e−0)− = e−(e−1) = 1

(4)

(x−1)(x−2)2 dx
◇考え方◇　 (x−2)2 dxだけならば求められる．

(置換積分を用いた公式)： (x−2)2 dx = + C

→ x−1 を微分する側：現在 f の側とする．

( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = x−1　→ f' = 1
　　　　g = ← (g') = (x−2)2：上げる


(x−1)(x−2)2 dx = (x−1)　　−　　dx

= (0−0)−　 =

(5)

ex sin x dx
◇考え方◇　直接的には値が求まらないとき，= Iとおいて I の方程式を解く．
 　I = (···)−I　→ I =

　I = (･･･) + I型だけは不可．それ以外は，I = (･･･) ± kI 型になればすべて求まる．
※ 1回の部分積分で自分自身 I が登場しなければ，部分積分を２回行う．
(ただし，ある関数を上げて下げると何も残らないので注意．上げるなら2回上げること．)
( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = sin x　→ f' = cos x
　　　　g = ex ← (g') = ex：上げる


ex sin x dx = ex −ex dx

= 0−ex cos x dx


( )は左辺の初めの形

下げる：(p) = cos x　→ p' =−sin x

　　　　q = ex ← (q') = ex：上げる


=−(ex cos x + ex sin x dx )

=−(- eπ−)−ex sin x dx
I = eπ + 1−I
I =
(6)

(log x)2 dx
◇考え方◇　(3)と同様に(log x)2 を微分する側に選ぶ．
( )は左辺の初めの形

下げる：(f) = (log x)2　→ f' = 2 (log x)

　　　　g = x ← (g') = 1：上げる


(log x)2 dx

= (log x)2 − log x dx = (*)


( )は左辺の初めの形

下げる：(p) = (log x)　→ p' =

　　　　q = x ← (q') = 1：上げる


(*) = e−2( x log x − dx )

= e−2(− x ) = e−2(e−e + 1) = e−2
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