定積分の部分積分法

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

■定積分の部分積分法次の空欄を埋めなさい。(なお，空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．) (1) π−2∫0wwwx sinx dx	◇考え方◇　sinx だけならば積分が求められるが x が掛けてあるので求められない → x を微分する側：現在 f の側とする． ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(f) = x　→ f' = 1　　　　　g =−cosx ← (g') = sinx：上げる ───────────── π−2∫0wwwx sinx dx　= [n- cosx + π−2∫0www dx = (0−0) +(1−0) = 1
(2) e∫1wwwx log x dx	◇考え方◇　log x の積分が求められない → log xを微分する側：現在 f の側とする． ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(f) = log x　→ f' = .1xn　　　　　g = .x22nn ← (g') = x：上げる ───────────── e∫1wwwx log x dx = [n.x22nn−e∫1www.x22nn .1nn dx = (.e22n−0)−e∫1www.x2ndx = .e22n−[n.x24n = .e2+1nnnn
(3) e∫1wwwlog x dx	◇考え方◇　log x の積分が求められない → 1·log x と考えて，log x を微分する側：現在 f の側とする． ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(f) = log x　→ f' = .1xn 　　　　g = x ← (g') = 1：上げる ───────────── e∫1wwwlog x dx = [n x − e∫1www x .1xn dx = (e−0)− [n = e−(e−1) = 1
(4) 2∫1www(x−1)(x−2)2 dx	◇考え方◇　 ∫wn(x−2)2 dxだけならば求められる． (置換積分を用いた公式)： ∫wn(x−2)2 dx = .(x−2)33nnnnn+ C → x−1 を微分する側：現在 f の側とする． ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(f) = x−1　→ f' = 1 　　　　g = .(x−2)33nnnnn ← (g') = (x−2)2：上げる ───────────── 2∫1www(x−1)(x−2)2 dx = [n(x−1).(x−2)33nnnnn　　−2∫1www.(x−2)3nnnnn　　dx = (0−0)−[n.(x−2)4nnnnn　 = .112nn
(5) π∫0wwwex sin x dx	◇考え方◇　直接的には値が求まらないとき，= Iとおいて I の方程式を解く．　I = (···)−I　→ I = .(･･･)2nnnn 　I = (･･･) + I型だけは不可．それ以外は，I = (･･･) ± kI 型になればすべて求まる． ※ 1回の部分積分で自分自身 I が登場しなければ，部分積分を２回行う． (ただし，ある関数を上げて下げると何も残らないので注意．上げるなら2回上げること．) ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(f) = sin x　→ f' = cos x 　　　　g = ex ← (g') = ex：上げる ───────────── π∫0wwwex sin x dx = [nex −π∫0wwwex dx = 0−π∫0wwwex cos x dx ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(p) = cos x　→ p' =−sin x 　　　　q = ex ← (q') = ex：上げる ───────────── =−([nex cos x + π∫0wwwex sin x dx ) =−(- eπ−)−π∫0wwwex sin x dx I = eπ + 1−I I = .eπ+12nnnn
(6) e∫1www(log x)2 dx	◇考え方◇　(3)と同様に(log x)2 を微分する側に選ぶ． ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(f) = (log x)2　→ f' = 2 (log x) .1xn 　　　　g = x ← (g') = 1：上げる ───────────── e∫1www(log x)2 dx = [n (log x)2 −e∫1www log x dx = () ───────────── ( )は左辺の初めの形下げる：(p) = (log x)　→ p' = .1xn 　　　　q = x ← (q') = 1：上げる ───────────── () = e−2( [n x log x − e∫1www dx ) = e−2(− [n x ) = e−2(e−e + 1) = e−2