多項式・有理関数・無理関数の不定積分No.1

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

不定積分

*** 高卒から大学初年度程度 ***

== 多項式・有理関数・無理関数の不定積分 == ■《基本公式》

（ア）α≠−1のとき
$\int x^{\alpha} dx=\frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha + 1}+ C$

この頁の下の問題に多く登場するようにαが分数（有理数）のときは，無理関数（累乗根）の積分になります．
【例】
$\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}} dx=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+ C$

（イ）α=−1のとき
$\int x^{-1} dx=\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+ C$

α=−1のときだけは例外です･･･これが重要
なお， $(\log x)\apos =\frac{1}{x}$ …(*1)ですが
$(\log (-x))\apos =\frac{1}{x}$ …(*2)も成り立ちますので，２つまとめて
$(\log |x|)\apos =\frac{1}{x}$
すなわち
$\int x^{-1} dx=\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+ C$
と書くことができます．

（解説）
（ア）←
ｘ^αを微分すると次数が１次下がります．

（イ）←
１次（ｘ¹）の微分は0次（定数項）です．
　しかし，０次（定数項）の微分だけは０次なので，
微分して－１次となるものが多項式や有理関数の中にはありません．

　ここで，微分してｘ^-1となる場所を埋めているのが，対数関数　log|ｘ|です．

(*2)の詳細
$y=\log (-x)$ を合成関数の微分法で微分すると
$y=\log u$
$u=-x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$
$=\frac{1}{u}\times (-1)$
$=\frac{1}{-x}\times (-1)=\frac{1}{x}$

■《基本性質》

○この性質を用いると，積分計算を分けて行うことができ，それぞれの計算を上記の≪基本公式≫に帰着させることができます．

基本公式と基本性質を使って解ける問題

【例1】
$\int x^4 dx$

（解答）
基本公式においてα=4と考えるとよいから
$\int x^4 dx=\frac{x^5}{5}+ C$

【例2】
$\int \frac{dx}{x^2}$

（解答）
$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$
だから，基本公式においてα=−2と考えるとよいから
$\int \frac{dx}{x^2}=\int x^{-2}dx=\frac{1}{-2+ 1}x^{-2+ 1}+ C$
$=-x^{-1}+ C$
高校の基本練習の段階では，形式的に答案だけは書けていても意味が分かっていないかもしれないと疑われないように，結果は分数関数に直しておく方が好まれるでしょう．
$=-\frac{1}{x}+ C$

【例3】
$\int \sqrt{x}dx$

（解答）
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
だから，基本公式において $\alpha=\frac{1}{2}$ と考えるとよいから
$\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+ C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ C$
高校の基本練習の段階では，形式的に答案だけは書けていても意味が分かっていないかもしれないと疑われないように，結果は累乗根に直しておく方が好まれるでしょう．
$=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ C$

【例4】
$\int \frac{2x^2+ 3x+ 4}{x^2}dx$

（解答）
分母が１つの項であるときは，簡単に分数を分けることができます．
$\int \frac{2x^2+ 3x+ 4}{x^2}dx=\int (2 + \frac{3}{x}+ \frac{4}{x^2})dx$
$=\int (2 + 3x^{-1}+ 4x^{-2})dx$
$=2x+ 3\log |x| -4x^{-1}+ C$
$=2x+ 3\log |x| -\frac{4}{x}+ C$

【例5】
$\int (x+ \frac{1}{x})^3dx$

（解答）
かっこを外して展開すると，分けて計算できます．
$\int (x+ \frac{1}{x})^3dx=\int (x^3+ 3x+ \frac{3}{x}+ \frac{1}{x^3})dx$
$=\frac{x^4}{4}+ \frac{3x^2}{2}+ 3\log |x|- \frac{1}{2x^2}+ C$

《問題》　次の不定積分に等しいものを下の選択肢から選びなさい．

[第1問 / 全10問]

解説

$\int \sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{\frac{2}{3}+ 1}x^{\frac{2}{3}+ 1}+ C$
$=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+ C=\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+ C=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+ C$
→解説を隠す← $\int ( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})dx=\int ( x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}})dx$
$=\frac{1}{\frac{1}{2}+ 1}x^{\frac{1}{2}+ 1}-\frac{1}{-\frac{1}{2}+ 1}x^{-\frac{1}{2}+ 1} + C$
$=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+ C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-2\sqrt{x}+ C$
$=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt{x} + C$
→解説を隠す← $\int \frac{1}{x\sqrt{x}}dx=\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\int x^{-\frac{3}{2}}dx$
$=\frac{1}{-\frac{3}{2}+ 1}x^{-\frac{3}{2}+ 1}+ C=\frac{1}{-\frac{1}{2}}x^{-\frac{1}{2}}+ C=-2\frac{1}{\sqrt{x}}+ C$
→解説を隠す← $\int x^2 \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{5}{2}}dx=\frac{1}{\frac{5}{2}+ 1}x^{\frac{5}{2}+ 1}+ C$
$=\frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}}+ C=\frac{2}{7}\sqrt{x^7}+ C=\frac{2}{7}x^3\sqrt{x}+ C$
→解説を隠す← $\int \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}dx=\int (\frac{x}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})dx=\int (x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})dx$
$=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}}+ C=\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+ C$
$=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+ C$
→解説を隠す← $\int \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx=\int (\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}})dx=\int (x^{-\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}})dx$
$=\int (x^{-\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}})dx=\frac{1}{\frac{2}{3}}x^{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{7}{6}}x^{\frac{7}{6}}+ C$
$=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}-\frac{6}{7}\sqrt[6]{x^7}+ C$
→解説を隠す← $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\frac{1}{2}\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\times \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+ C$
$=\sqrt{x}+ C$
→解説を隠す← $\int (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}})^2dx=\int (1-\frac{1}{\sqrt{x}})^2dx=\int (1-\frac{2}{\sqrt{x}}+ \frac{1}{x})dx$
$=x-2\int x^{-\frac{1}{2}}dx + \log |x|+ C$
$=x-2\times \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + \log |x|+ C$
$=x-4\sqrt{x} + \log |x|+ C$
→解説を隠す← $\int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{x^2-2x+ 1}{\sqrt{x}}dx$
$=\int (x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}+ x^{-\frac{1}{2}})dx$
$=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-2\times \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ \frac{1}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}+ C$
$=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}+ 2\sqrt{x}+ C$
→解説を隠す← $\int (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2dx=\int (x-2+ \frac{1}{x})dx$
$=\frac{x^2}{2}-2x+ \log |x|+ C$
→解説を隠す←

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