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鼠

銀

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茶

緑

桃

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 二次曲線

【Ⅰ.1.(1) 楕円の方程式】
　２定点F(c, 0), F’(−c, 0)からの距離の和が一定2aである点P(x, y)の軌跡は楕円になる．
（ただし，a>c>0とし，${\displaystyle a^2=b^2+c^2}$とおく）
• 楕円の方程式は
${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$･･･(1)
• 焦点の座標は
${\displaystyle F(c,0),F^{\prime }(-c,0)}$
• 長軸の長さは，AA’=2a
（一般に，a>b>0のとき，AA’が長軸になる．右図はこれに該当する．）
• 短軸の長さは，BB’=2b
（一般に，a>b>0のとき，BB’が短軸になる．右図はこれに該当する．）
• 一定となる距離の和は，FP+PF’=2a

【Ⅰ.1.(2) 楕円の方程式】
　２定点F(0, c), F’(0, −c)からの距離の和が一定2bである点P(x, y)の軌跡は楕円になる．
（ただし，b>c>0とし，${\displaystyle a=\sqrt{b^2-c^2}}$とおくと，
• 楕円の方程式は
${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$･･･(2)
• 焦点の座標は
${\displaystyle F(0,c),F^{\prime }(0,-c)}$
• 長軸の長さは，BB’=2b
（一般に，b>a>0のとき，BB’が長軸になる．右図はこれに該当する．）
• 短軸の長さは，AA’=2a
（一般に，b>a>0のとき，AA’が短軸になる．右図はこれに該当する．）
• 一定となる距離の和は，FP+PF’=2b

　このまま両辺を２乗しても「一応計算できる」が「途中経過が４次式のコテコテの計算になる」から，そっちに進むのは避ける方がよい．
　次のように根号を両辺に分けてから２乗すると，少しは簡単になる．

　以上の証明の途中経過を覚える必要はない．後の参考としては「根号を両辺に分けてから２乗する」という変形の勘を身に着けておく程度とする．

【例題1】★☆☆
　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$について, (1) 焦点の座標，(2) 長軸の長さ，(3) 短軸の長さを求めて，(4) グラフの概形を描いてください．

♣♦--危険なワナ--♥♠
→ (a=)3は長軸の長さではない．aは，ほぼ≃半径

♣♦--危険なワナ--♥♠
→ 上記と同様.

【例題2】★☆☆
　楕円${\displaystyle 4x^2+y^2=4}$について, (1) 焦点の座標，(2) 長軸の長さ，(3) 短軸の長さを求めて，(4) グラフの概形を描いてください．

【例題3】★☆☆
　次の楕円について，(A) 焦点の座標, (B) 長軸の長さ, (C) 短軸の長さを求めて，(D) グラフの概形を描いてください． (1) ${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}$
(2) ${\displaystyle 4x^2+3y^2=12}$

${\displaystyle a=2,b=3,c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{5}}$だから
(A) 焦点の座標は${\displaystyle F(0,\sqrt{5}),F^{\prime }(0,-\sqrt{5})}$
(B) 長軸の長さは${\displaystyle (2b=)6}$
(C) 短軸の長さは${\displaystyle (2a=)4}$
(D) 概形は，右図の通り

${\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}$
と変形できる
${\displaystyle a=\sqrt{3},b=2,(b>a>0),c=\sqrt{b^2-a^2}=1}$だから
(A) 焦点の座標は${\displaystyle F(0,1),F^{\prime }(0,-1)}$
(B) 長軸の長さは${\displaystyle (2b=)4}$
(C) 短軸の長さは${\displaystyle (2a=)2\sqrt{3}}$
(D) 概形は，右図の通り

【問題1】★☆☆
　xy平面上の２点F(1, 0), F’(−1, 0)からの距離の和がつねに4であるような点の軌跡はだ円となる．このだ円の長軸と短軸の長さを求めよ．　

動点の座標をP(x, y)とおくと，PF+PF’=4より
${\displaystyle \sqrt{(x+1{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=4}$
${\displaystyle \sqrt{(x+1{)}^2+y^2}=4-\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}}$
辺々を２乗する
${\displaystyle (x+1{)}^2+y^2=16-8\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}+(x-1{)}^2+y^2}$
${\displaystyle 4x=16-8\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}}$
${\displaystyle 2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=4-x}$
辺々を２乗する
${\displaystyle 4\{(x-1{)}^2+y^2\}=16-8x+x^2}$
${\displaystyle 3x^2+4y^2=12}$
${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}$
${\displaystyle a=2,b=\sqrt{3}}$だから
長軸の長さは${\displaystyle 2a=4}$，短軸の長さは${\displaystyle 2b=2\sqrt{3}}$･･･（答）
（別解）･･･結果がだ円になることは，問題文に書かれているから，だ円の公式に当てはめると
${\displaystyle c=1,a=2,b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3}}$
長軸の長さは${\displaystyle 2a=4}$，短軸の長さは${\displaystyle 2b=2\sqrt{3}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【Ⅰ.2.(1)双曲線の方程式】
　２定点F(c, 0), F’(−c, 0)からの距離の差が一定±2aである点P(x, y)の軌跡は双曲線になる．
（ただし，c>a>0とし，${\displaystyle b=\sqrt{c^2-a^2}}$とおく場合）
　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)}$･･･(1)になる
• 焦点の座標は${\displaystyle F(c,0),F^{\prime }(-c,0)}$
• 主軸はx軸（右図の通り）
• 漸近線の方程式は${\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}x}$
• 頂点の座標は
A(a, 0), A’(−a, 0)
• 双曲線の中心は原点O(0, 0)

【Ⅰ.2.(2) 双曲線の方程式】
　２定点F(0, c), F’(0, −c)からの距離の差が一定±2bである点P(x, y)の軌跡は双曲線になる．
（ただし，c>b>0とし，${\displaystyle a=\sqrt{c^2-b^2}}$とおく場合）
　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1(a>0,b>0)}$･･･(2)になる
• 焦点の座標は${\displaystyle F(0,c),F^{\prime }(0,-c)}$
• 主軸はy軸（右図の通り）
• 漸近線の方程式は${\displaystyle y=\pm \frac{b}{a}x}$
• 頂点の座標は
B(0, b), B’(0, −b)
• 双曲線の中心は原点O(0, 0)

　このまま両辺を２乗しても「一応計算できる」が「途中経過が４次式のコテコテの計算になる」から，そっちに進むのは避ける方がよい．
　次のように根号を両辺に分けてから２乗すると，少しは簡単になる．

ここで，c>a>0に注意する

【例題4】★☆☆
　次の双曲線について，(A) 焦点の座標, (B) 頂点の座標, (C) 漸近線の方程式を求めて，(D) グラフの概形を描いてください． (1) ${\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1}$
(2) ${\displaystyle x^2-y^2=-1}$

${\displaystyle a=3,b=2,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}}$だから
(A) 焦点の座標は${\displaystyle F(\sqrt{13},0),F^{\prime }(-\sqrt{13},0)}$
(B) 頂点の座標は${\displaystyle A(3,0),A^{\prime }(-3,0)}$
(C) 漸近線の方程式は${\displaystyle y=\pm \frac{2}{3}x}$
(D) 概形は，右図の通り

${\displaystyle a=1,b=1,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}}$だから
(A) 焦点の座標は${\displaystyle F(0,\sqrt{2}),F^{\prime }(0,-\sqrt{2})}$
(B) 頂点の座標は${\displaystyle B(0,1),B^{\prime }(0,-1)}$
(C) 漸近線の方程式は${\displaystyle y=\pm x}$
(D) 概形は，右図の通り

【例題5】★☆☆
　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1}$について, (1) 焦点の座標，(2) 頂点の座標， (3) 漸近線の方程式を求めて，(4) グラフの概形を描いてください．

【問題2】★☆☆
　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{35}-\frac{y^2}{12}=1}$の焦点の座標は $\sqrt{}$ (⑤⑥⑦,0) である．

${\displaystyle a=\sqrt{35},b=\sqrt{12}}$として，${\displaystyle F(\sqrt{a^2+b^2},0),F^{\prime }(-\sqrt{a^2+b^2},0)}$の座標を求める
${\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{35+12}=\sqrt{47}}$
だから
　焦点の座標は${\displaystyle (\pm \sqrt{47},0)}$･･･（答）
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【問題3】★★★
　２定点F(a, a), F’(−a, −a)を焦点とし，F, F’からの距離の差が2aである双曲線Cを考える．ただし，a>0とする．
(1)　双曲線Cの方程式を求めよ．
(2)　双曲線Cの頂点の座標および漸近線の方程式を求めよ．

(1)
動点をP(x, y)とおく
${\displaystyle FP-F^{\prime }P=\pm 2a}$
${\displaystyle \sqrt{(x-a{)}^2+(y-a{)}^2}-\sqrt{(x+a{)}^2+(y+a{)}^2}=\pm 2a}$
${\displaystyle \sqrt{(x-a{)}^2+(y-a{)}^2}\mp 2a=\sqrt{(x+a{)}^2+(y+a{)}^2}}$
辺々２乗する
${\displaystyle (x-a{)}^2+(y-a{)}^2\pm 4a\sqrt{(x-a{)}^2+(y-a{)}^2}+4a^2}$
${\displaystyle =(x+a{)}^2+(y+a{)}^2}$
${\displaystyle \pm 4a\sqrt{(x-a{)}^2+(y-a{)}^2}=4ax+4ay-4a^2}$
${\displaystyle \pm \sqrt{(x-a{)}^2+(y-a{)}^2}=x+y-a}$
辺々２乗する
${\displaystyle x^2-2ax+a^2+y^2-2ay+a^2}$
${\displaystyle =x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay}$
${\displaystyle 2xy=a^2}$
${\displaystyle xy=\frac{a^2}{2}}$･･･（答）
(2)
(1)の形の直角双曲線の漸近線は，座標軸である
${\displaystyle y=0,x=0}$･･･（答）
頂点の座標は，y=±xの直線と双曲線との交点として求まる．
${\displaystyle A(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}),A^{\prime }(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}})}$･･･（答）
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${\displaystyle X=\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}}$
${\displaystyle Y=\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle x=\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{2}}}$
${\displaystyle y=\frac{X}{\sqrt{2}}-\frac{Y}{\sqrt{2}}}$

•焦点の座標は
${\displaystyle F_1(\sqrt{2}a,0),F_1^{\prime }(-\sqrt{2}a,0)\to F(a,a),F^{\prime }(-a,-a)}$
•頂点の座標は
${\displaystyle A_1(a,0),A_1^{\prime }(-a,0)\to A(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}),A^{\prime }(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}})}$
･･･(2)の答
•漸近線の方程式は
${\displaystyle y=\pm x\to y=0,x=0}$･･･(2)の答
•双曲線の方程式は
${\displaystyle x^2-y^2=a^2}$
${\displaystyle \to {(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{2}})}^2-{(\frac{X}{\sqrt{2}}-\frac{Y}{\sqrt{2}})}^2=a^2}$
${\displaystyle \to 2XY=a^2}$
変数をx, yで書くと
${\displaystyle xy=\frac{a^2}{2}}$･･･(1)の答

【Ⅰ.3.(1) 放物線の方程式】
• 焦点F(p, 0)と準線x=−p (p≠0)からの距離が等しい点
P(x, y)の軌跡は放物線
${\displaystyle y^2=4px}$になる
• p≠0のとき，放物線${\displaystyle y^2=4px}$について
放物線の対称軸のことを，単に軸という．

【Ⅰ.3.(2) 放物線の方程式】
• 焦点F(0, p)と準線y=−p (p≠0)からの距離が等しい点
P(x, y)の軌跡は放物線
${\displaystyle x^2=4py}$になる
• p≠0のとき，放物線${\displaystyle x^2=4py}$について

　初めに，準線上の点Hと動点P(x, y)および焦点F(p, 0)が一直線上に並ぶとき，HP=PFとなる．すなわち，動点P(x, y)は原点O(0, 0)を通ることに注意．
　このように定めると放物線の頂点が原点を通ることになり，方程式が簡単になる．
　応用問題としては，頂点が原点以外に来る場合も扱うが，準線の方程式x=−pと焦点の座標F(p, 0)とで，符号だけ異なる数値p, −pを使うのは，このように頂点を原点に一致させるねらいがあるからと考えればよい．

【例題6】★☆☆
　　次の放物線について，(A) 焦点の座標, (B) 頂点の座標, (C) 準線の方程式を求めて，(D) グラフの概形を描いてください．
(1) ${\displaystyle y^2=12x}$
(2) ${\displaystyle x^2=-4y}$

${\displaystyle y^2=4\times 3\times x}$
(A) 焦点の座標は${\displaystyle F(3,0)}$
(B) 頂点の座標は${\displaystyle O(0,0)}$
(3) 準線の方程式は${\displaystyle x=-3}$
(D) 概形は右図の通り

${\displaystyle x^2=4\times (-1)\times y}$
(A) 焦点の座標は${\displaystyle F(0,-1)}$
(B) 頂点の座標は${\displaystyle O(0,0)}$
(3) 準線の方程式は${\displaystyle y=1}$
(D) 概形は右図の通り

【Ⅱ. 曲線の平行移動】
　一般に，曲線 f(x, y)=0をx軸の正の向きにp,y軸の正の向きにqだけ平行移動して得られる曲線の方程式は
f(x−p, y−q)=0
　x軸の正の向きにα,y軸の正の向きにβだけ平行移動するとき
(1) 楕円
${\displaystyle \frac{x2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\to \frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}+\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1}$
(2) 双曲線
${\displaystyle \frac{x2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\to \frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}-\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1}$
(3) 放物線
${\displaystyle y^2=4px\to (y-\beta {)}^2=4p(x-\alpha )}$

【例題7】★☆☆
(1) 楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}$を，x軸の正の向きに4,y軸の正の向きに5だけ平行移動してできる楕円の方程式を求めてください．
(2) ${\displaystyle 4x^2+y^2+8x-4y+4=0}$はどのような図形を表すか．図示してください．

【問題4】★★☆
　座標平面上の点(x, y)が曲線${\displaystyle 4x^2+9y^2-24x=0}$の上を動くとき，${\displaystyle x^2+y^2-6x}$の最小値はセである．

${\displaystyle 4x^2+9y^2-24x=0}$より
${\displaystyle y^2=\frac{24x-4x^2}{9}}$･･･①
ただし
${\displaystyle 4(x^2-6x)+9y^2=0}$
${\displaystyle 4(x-3{)}^2+9y^2=36}$
${\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$
より，0≦x≦6, −2≦y≦2･･･②
①を${\displaystyle x^2+y^2-6x}$に代入してyを消去し，１変数xの関数に直す
${\displaystyle x^2+\frac{24x-4x^2}{9}-6x}$
${\displaystyle =\frac{5}{9}{x}^2-\frac{10}{3}x}$
${\displaystyle =\frac{5}{9}(x^2-6x)=\frac{5}{9}(x-3{)}^2-5}$
②により，x=3, y=±2のとき最小値−5をとる･･･（答）
（別解1）
${\displaystyle 4x^2+9y^2-24x=0}$より
${\displaystyle x^2-6x=-\frac{9}{4}{y}^2}$･･･③
ただし
${\displaystyle 4(x^2-6x)+9y^2=0}$
${\displaystyle 4(x-3{)}^2+9y^2=36}$
${\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$
より，0≦x≦6, −2≦y≦2･･･④
を用いて，xを消去し，１変数yの関数に直してもよい
${\displaystyle x^2+y^2-6x=y^2-\frac{9}{4}{y}^2=-\frac{5}{4}{y}^2}$
④により，x=3, y=±2のとき最小値−5･･･（答）
（別解2）
媒介変数を用いて１つの変数で表す方法
${\displaystyle 4(x^2-6x)+9y^2=0}$
${\displaystyle 4(x-3{)}^2+9y^2=36}$
${\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$
より，x=3cosθ+3, y=2sinθ (0≦θ<2π)･･･⑤
とおけるから
${\displaystyle x^2+y^2-6x=(x-3{)}^2-9+y^2}$
${\displaystyle =(3\cos \theta {)}^2-9+(2\sin \theta {)}^2}$
${\displaystyle =9{\cos }^2\theta -9+4{\sin }^2\theta }$
${\displaystyle =5{\cos }^2\theta -9+4({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )}$
${\displaystyle =5{\cos }^2\theta -9+4}$
${\displaystyle =5{\cos }^2\theta -5}$
${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}(x=3,y=\pm 2)}$のとき最小値−5･･･（答）
（別解3）
　点Pが右図の茶色で示した曲線${\displaystyle 4x^2+9y^2-24x=0}$上にあるとき，点(3, 0)を中心とする円は，青色で示したときに半径が最小となる．
${\displaystyle 2^2\leqq (x-3{)}^2+y^2\leqq 3^2}$
${\displaystyle -5\leqq x^2+y^2-6x\leqq 0}$
x=3, y=±2のとき最小値−5･･･（答）
→解説を隠す←

【例題8】★☆☆
(1) 双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=-1}$を，x軸の正の向きに2,y軸の正の向きに1だけ平行移動してできる双曲線の方程式を求めてください．
(2) ${\displaystyle 9x^2-4y^2-18x-16y-43=0}$はどのような図形を表すか．図示してください．

【問題5】★★☆
　方程式${\displaystyle 2x^2-y^2+8x+2y+11=0}$が表す曲線は，頂点が(け, こ)と(さ, し)，焦点が(す, せ)と(そ, た)の双曲線で，その漸近線の方程式はy=ちおよびy=つである．

${\displaystyle 2(x^2+4x)-(y^2-2y)=-11}$
${\displaystyle 2(x+2{)}^2-8-(y-1{)}^2+1=-11}$
${\displaystyle 2(x+2{)}^2-(y-1{)}^2=-4}$
${\displaystyle \frac{(x+2{)}^2}{2}-\frac{(y-1{)}^2}{4}=-1}$･･･(2)
と変形できるから，(2)は双曲線
${\displaystyle \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=-1}$･･･(1)
を，x軸の正の向きに−2，y軸の正の向きに1だけ平行移動したもの

	双曲線(1)	双曲線(2)	解答の記号
頂点	(0,2) (0,−2)	(−2,3) (−2,−1)	けこ さし
焦点	${\displaystyle (0,\sqrt{6})}$ ${\displaystyle (0,-\sqrt{6})}$	${\displaystyle (-2,1+\sqrt{6})}$ ${\displaystyle (-2,1-\sqrt{6})}$	すせ そた
漸近線	${\displaystyle y=\sqrt{2}x}$ ${\displaystyle y=-\sqrt{2}x}$	${\displaystyle y-1=\sqrt{2}(x+2)}$ 　${\displaystyle y=\sqrt{2}x+2\sqrt{2}+1}$ ${\displaystyle y-1=-\sqrt{2}(x+2)}$ 　${\displaystyle y=-\sqrt{2}x-2\sqrt{2}+1}$	ち つ

→解説を隠す←

【例題9】★☆☆
(1) 放物線${\displaystyle y^2=8x}$を，x軸の正の向きに3,y軸の正の向きに1だけ平行移動してできる放物線の方程式を求めてください．
(2) ${\displaystyle x^2-4x+4y-8=0}$はどのような図形を表すか．図示してください．

■因数分解型の不等式が表す図形■
　２文字の因数分解型の不等式が表す図形は，市松模様（チェック模様）とも呼ばれ，東京2020のエンブレムや『鬼滅の刃』炭治郎の上着にも用いられている．歌舞伎役者 佐野川市松が好んで用い，後に市松模様などと呼ばれるようになった．
• 市松模様では，境界線で隣り合う領域は白黒が反対になり，対角線側とは一致する．
• 因数分解型の不等式は，連立不等式の応用問題と考えることができ，例えば，
${\displaystyle \{(x-1{)}^2+y^2-4\}\{(x+1{)}^2+y^2-4\}<0}$
という因数分解型の不等式は
${\displaystyle (x-1{)}^2+y^2-4<0}$
${\displaystyle (x+1{)}^2+y^2-4>0}$
または
${\displaystyle (x-1{)}^2+y^2-4<0}$
${\displaystyle (x+1{)}^2+y^2-4>0}$
　右図の茶色で塗った箇所に対応する．
• このような市松模様を作るには，${\displaystyle (x-1{)}^2+y^2=4}$，${\displaystyle (x+1{)}^2+y^2=4}$を「＝０となる形にして掛けたもの」すなわち「因数分解型」にすることが重要で，
${\displaystyle \{(x-1{)}^2+y^2\}\{(x+1{)}^2+y^2\}<16}$
のような形では，できない．
• 「市松に塗り分ける」「柄模様が市松になっている」などと形容動詞的に使うこともあるようです．

【問題6】★★☆
　次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい．
${\displaystyle (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0}$

${\displaystyle 4x^2+9y^2-36=0}$
${\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$･･･①
${\displaystyle y=\frac{4}{27}{x}^2}$･･･②
①②の交点は
${\displaystyle (\pm \frac{3\sqrt{3}}{2},1)}$
　例えば，点x=1, y=0は原式を満たさないので，点(1, 0)を含む領域は塗りつぶさない．その隣の領域から塗り始めて，市松に塗りこむ．ただし,境界線は含まない．
（点x=0, y=1は原式を満たすので，点(0, 1)を含む領域を塗りつぶし，順に市松に塗りつぶす．ただし,境界線は含まない．）
　右図の塗りこんだ部分が解
→解説を隠す←

【基本の復習】
•不等式${\displaystyle x^2+y^2>r^2}$が表す領域は，円${\displaystyle x^2+y^2=r^2}$の外側（境界線を含まない）
•不等式${\displaystyle x^2+y^2<r^2}$が表す領域は，円${\displaystyle x^2+y^2=r^2}$の内側（境界線を含まない）
•不等式${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}>1}$が表す領域は，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$の外側（境界線を含まない）
•不等式${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1}$が表す領域は，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$の内側（境界線を含まない）

【問題7】★★☆
　xy平面において，不等式
${\displaystyle (\frac{x^2}{3}+y^2-1)(x^2+\frac{y^2}{3}-1)\leqq 0}$
が表す領域の面積を求めよ．

　右図の桃色で示した部分．濃い桃色の部分の面積を求めて８倍すればよい．
灰色で示した交点のx座標は
${\displaystyle \frac{x^2}{3}+y^2=1,y=x}$
から求まる
${\displaystyle (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})}$
濃い桃色の部分の面積は
${\displaystyle \sqrt{3}{\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^2}dx-\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{3-x^2}dx}$
定積分の所は，各々置換積分によって計算できる


濃い桃色の部分の面積は
${\displaystyle \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{8}\right)+\frac{\pi }{6}-\frac{1}{\sqrt{3}}\times 3(\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\pi }{12})}$
${\displaystyle =\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{3}\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}\pi }{12}}$
求める面積は
${\displaystyle 8\times \frac{\sqrt{3}\pi }{12}=\frac{2\sqrt{3}\pi }{3}}$･･･（答） →解説を隠す←

【Ⅲ.1 接線の公式】

	２次曲線の 方程式 ${\displaystyle ⟹}$ 接点${\displaystyle (x_1,y_1)}$における 接線の方程式
楕円	${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$${\displaystyle ⟹}$${\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1}$
双曲線	${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ${\displaystyle ⟹}$ ${\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}-\frac{y_{1}y}{b^2}=1}$ ${\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}-\frac{y_{1}y}{b^2}=1}$ ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$ ${\displaystyle ⟹}$ ${\displaystyle \frac{x_{1}x}{a^2}-\frac{y_{1}y}{b^2}=-1}$
放物線	${\displaystyle y^2=4px}$ ${\displaystyle ⟹}$ ${\displaystyle y_{1}y=2p(x+x_1)}$ ${\displaystyle x^2=4py}$ ${\displaystyle ⟹}$ ${\displaystyle x_{1}x=2p(y+y_1)}$

• 曲線の方程式で「変数の２乗」になっている所は「1枚を接点の座標に入れ換えた掛け算」にすると接線の方程式になる．
${\displaystyle x^2⟹x_{1}x}$
${\displaystyle y^2⟹y_{1}y}$
• 放物線の方程式で，「変数+変数」と読める所は「1枚を接点の座標に入れ換えた足し算」にすると接線の方程式になる．
${\displaystyle 2x⟹x+x_1}$
${\displaystyle 4px=2p(x+x)⟹2p(x+x_1)}$