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現在地と前後の項目 楕円の方程式/双曲線の方程式/放物線の方程式/２次曲線の接線,極線/２次曲線と直線/２次曲線(復習と入試問題)/媒介変数表示1/媒介変数表示2/媒介変数表示3/放物線の頂点,円の中心の軌跡/極座標/極方程式1/極方程式2/2次曲線.極方程式.媒介変数/
【極座標とは】
※極座標としては通常r≧0のものを扱いますが，必要に応じてr<0となる表現も使われることがあります．r<0のときは，半径が正で偏角がθ+πの点を表すものとします．平面上の点を，原点からの距離rと始線（x軸の正の向き）からの偏角θの組(r, θ)で表したものを極座標といいます．  ※中学校で習った直交座標(x,y)と極座標(r, θ)（ただし，r≧0とする．）とは，次の関係があります． ［極座標→直交座標］
x=r cosθ
［直交座標→極座標］
y=r sinθ
r=
 √x2+y2θは
cosθ=
となる角
 x√x2+y2sinθ= y√x2+y2 |
【例】(1) 右図のA 直交座標は(1,1) 極座標は( √2,π4)(2) 右図のB 直交座標は(0,5) 極座標は(5, π2)(3) 右図のC 直交座標は(−2,2 √3)極座標は(4, 2π3)(4) 右図のD 直交座標は(0,−4) 極座標は(4, 3π2)(*) 図の点E 極座標として(3 √2,−π4)のようにθ<0となる角度を使うことがあります．一般に，θ+2nπ（nは整数）はすべて同じ偏角を表す．極座標(r, θ)→図の対応はただ１通りであるが，図→(r, θ)の場合は，例えば偏角を0≦θ<2πの範囲で定めることにすれば，θはただ１通りに定まります． (*) 図の点F 極座標として(−2 √2,π4)のようにr<0となる場合は(2 √2,5π4)と同じになります． |
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【問題２】次の極座標(r, θ)を直交座標(x, y)に直してください．
（正しいものを選んでください．）
(1)(2, 2π3)
解説(−  √3,1)
(−1, √3)
(− √32, 12 )
(−12, √32)
x=2×cos2π3=2×(−12)=−1
y=2×sin2π3=2×(√32)=√3
だから，(−1, √3)
(2)(2√2, 3π4)
解説(2, 2) (2, −2) (−2, 2) (−2, −2) x=2×cos 3π4=2√2×(−√22)=−2
y=2×sin3π4=2√2×√22=2
だから，(−2, 2)
(3)(6, −π4)
解説(3 √2, −3√2)
(−3√2, −3√2)(2 √3, −2√3)
(−2√3, 2√3)
x=6×cos(−π4)=6×√22=3√2
y=6×sin(−π4)=6×(−√22)=−3√2
だから，(3√2, −3√2)
続く→
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(4)(5, θ) ただし，θは，sinθ=− 45, cosθ=35となる角解説 ( 35, −45)
(−45, 35)
(3, −4)
(−4, 3)
x=5×cosθ=5×35=3
y=5×sinθ=5×(−45)=−4
だから，(3, −4)
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【問題３】次の直交座標(x, y)を極座標(r, θ)に直してください．ただし，r≧0, 0≦θ<2πとします．
（正しいものを選んでください．）
(1)(0, −5)
解説(5, 0) (5, π2)
(5, π)
(5, 3π2)
図を考えれば明らかなように，θ=3π2
したがって，(5, 3π2)
(2)(√3, 1)
解説(2, π6)
(2, π3)
(4, π6)
(4, π3)
r=√(√3)2+12=√4=2
cosθ=√32 , sinθ=12(0≦θ<2π)
よりθ=π6
したがって，(2 , π6)
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(3)(−3 , 3)
解説 (3, 3π4)
(3, 5π4)
(3√2, 3π4)
(3√2, 5π4)
r=√(−3)2+32=√18=3√2
cosθ=−33√2=−1√2 , sinθ=33√2=1√2(0≦θ<2π)
よりθ=3π4
したがって，(3√2 , 3π4)
(4)(2 , −2√3)
解説(2, 2π3)
(2, 4π3)
(4, 4π3)
(4, 5π3)
r=√22+(−2√3)2=√16=4
cosθ=24=12 , sinθ=−2√34=−√32(0≦θ<2π)
よりθ=5π3
したがって，(4 , 5π3)
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