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高校数学 >> 高校数学Ⅲ>> 二次曲線

■　方程式 y2=4px …(1)
で表わされる曲線は，右図１のような放物線になる．
○　(1)を放物線の方程式の標準形という．
○　この曲線は「定点 F(p , 0) と定直線 x=−p からの距離が等しい点の軌跡」となっている．（解説は次の項目↓）
○　点 F(p , 0) を放物線の焦点といい，直線 x=−p を準線という．
○　点 O(0 , 0) を放物線の頂点という．
○　(1)の放物線は x 軸に関して対称となっている． この対称軸を放物線の軸という．すなわち，軸の方程式は y=0
■　(1)において x , y の役割を入れ換えたもの x2=4py は，右図２のような放物線になる．
　このとき，焦点は y 軸上にあり，焦点の座標は F(0 , p) また，準線の方程式は y=−p ，軸の方程式は x=0 ，頂点の座標は O(0 , 0) になる．

図１

【要点1】横向きの場合
放物線${\displaystyle y^2=4px}$の
である.
　このとき，動点${\displaystyle P(x,y)}$と焦点との距離
${\displaystyle PF=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}}$
動点から準線に引いた垂線の長さ
${\displaystyle PH=|x+p|}$
について
${\displaystyle PF=PH}$が成り立つ
すなわち
${\displaystyle \sqrt{(x-p{)}^2+y^2}=|x+p|}$
${\displaystyle ⟺y^2=4px}$
が成り立つ

【要点2】縦向きの場合
放物線${\displaystyle x^2=4py}$の
である.
　このとき，動点${\displaystyle P(x,y)}$と焦点との距離
${\displaystyle PF=\sqrt{x^2+(y-p{)}^2}}$
動点から準線に引いた垂線の長さ
${\displaystyle PH=|y+p|}$
について
${\displaystyle PF=PH}$が成り立つ
すなわち
${\displaystyle \sqrt{x^2+(y-p{)}^2}=|y+p|}$
${\displaystyle ⟺x^2=4py}$
が成り立つ

《要約》
焦点 F(p , 0)，準線 x=−p からの距離が等しい点 P(x , y) の軌跡の方程式は
y2=4px

《要約》
焦点 F(0 , p)，準線 y=−p からの距離が等しい点 P(x , y) の軌跡の方程式は
x2=4py

(y−t)2=4p(x−s)　…(2)
　は，放物線
y2=4px　…(1)
を x 軸の正の向きに s，y 軸の正の向きに t だけ平行移動した放物線になる．
○　頂点の座標は (s , t)
○　焦点の座標 は (p+s , t)
○　準線の方程式は x=−p+s

(続く→）

コメント失礼しますm(__)m 放物線の標準形のところで、要点1要点2ともに、焦点が頂点になっています。ので、頂点を焦点に訂正お願いしますm(__)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

X^2=4yの焦点の求め方が分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．教材を書いた当時は，前から読むと公式そのものだから省略できると考えたようで，確かに直接的には書いてないようです．何らかのまとめ的なものを加筆します．
ご質問の点については

いつも参考にさせていただいております。ありがとうございます。放物線の方程式、２の焦点の働きと軌跡の説明のグラフ上のHの座標が(-p,0)になっていますが正しくはH(-p,y)ではないでしょうか？恐れ入りますが確認をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

面白かったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

とても良いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．