媒介変数表示1

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楕円の方程式/双曲線の方程式/放物線の方程式/２次曲線の接線,極線/２次曲線と直線/２次曲線(復習と入試問題)/媒介変数表示1/媒介変数表示2/媒介変数表示3/放物線の頂点,円の中心の軌跡/極座標/極方程式1/極方程式2/2次曲線.極方程式.媒介変数/

■媒介変数表示1

x, y座標がそれぞれ第３の変数tを用いて

x=f(t)
y=g(t)

…(*)

と表されるとき，tが定まると点P(x, y)が定まる．このとき，(*)を媒介変数表示，tを媒介変数という．

【媒介変数表示で表される曲線・直線の調べ方】
(A) t=0,1,2などいくつかの値に対応する点を調べてみる．

この方法は，原始的なもので，すべてのtの値に対して調べている訳ではないので，軽く見られがちですが，２，３の値について調べてみると重要な傾向が分かります．

(B) 媒介変数を消去してx, yの方程式に直す．
このとき，媒介変数の値の範囲に制限があるときは，消去するときにx, yの範囲として残す必要があります．…(B-1)

媒介変数tを消去するために，一方の式からtについて解いて，他方の式に代入するというのが良く用いられる方法ですが，必ずしもそうしなければならない訳ではなく，何らかの関係式を利用して消去できればよい．…(B-2)

(A)の【例】

x=2t+1
y=3t−1

t=0のときx=1, y=−1 → 点(1, −1)を通る
t=1のときx=3, y=2 → 点(3, 2)を通る
t=2のときx=5, y=5 → 点(5, 5)を通る

※この方法は，数学的には原始的に見えますが，コンピュータを用いてグラフを描くときには，重宝します．次の媒介変数表示で表される図形（リサジュー曲線）

x=sin 2t
y=cos 3t

t	sin2t	co3t
0.000	0.000	1.000
0.100	0.199	0.955
0.200	0.389	0.825
0.300	0.565	0.622
0.400	0.717	0.362
…	…	…
…	…	…

をExcelで描きたいとき，右図のように例えば0.1刻みでtの値を並べて，対応するx, yの値を各々=sin(2*A2), =cos(3*A2)などによって埋めておき，水色で示した範囲（x, yの値のみ）から，グラフ→散布図（平滑線でつないだマーカーなし）を選べば下図のようなグラフが描けます．･･･「折れ線グラフ」ではなく「散布図」を選びます．このようにして，特別なグラフ表示ソフトなしで汎用的な表計算ソフトExcelでグラフが描けます．･･･tの値を各点の「ラベル」として表示するには，Excelの標準装備ではできずに特別なマクロを組む必要があるようです．（MicroSoft社のホームページに解説があるようです）

(B-1)の【例】

x=.

√t√ni−1
y=t+1

　この例では，t≧0のときだけ関数が定義されるので，
x+1=.

√t√ni≧0
すなわち，
x≧−1
という条件が付きます．
　求める曲線はtを消去してできるx, yの関係式
y=(x+1)2+1
の全部ではなく，そのうちのx≧−1の部分になります．

【重要】
tは消去されるが，tに付いていた条件は残さなければならない．
t≧0の条件はx≧−1として引き継ぐ．

(B-2)の【例】

x=cos t
y=sin t

　この例では，tについて解けない（無理やり解く方法：t=cos−1xもあるが，それは元の関数の逆関数を表す形式的な記号であまりうれしくない）が，三角関数の次の公式に代入すると
sin2t+cos2t=1
x, yが消去できます．
x2+y2=1

　このように，媒介変数を消去することにとって「tについて解いてから」という手続きは必ずしも必要なことではない.

※正しい番号をクリックしてください．

問１次の媒介変数表示において，tが実数値をとって変化するとき，点(x,y)の描くグラフを求めてください．

x=3t−3
y=−2t+4