■双曲線
■１ 　双曲線の方程式の標準形
※双曲線の方程式は，中学校で反比例のグラフ
y=.axn

において登場するが，そこでは直角双曲線だけを扱った．以下においては，必ずしも漸近線が直角に交わらない一般の場合を扱う．
■　c>a>0 , b>0 のとき，方程式
.x2a2nn−.y2b2nn=1　…(1)

で表わされる曲線は，右図１のような双曲線になる．
○　(1)を双曲線の方程式の標準形という．
○　この曲線は「２定点 F(.√a2+b2√nnnnni , 0) , F’(−.√a2+b2√nnnnni , 0) からの距離の差が一定 2a である点の軌跡」となっている．（解説は次の項目↓）
○　２点 F(.√a2+b2√nnnnni , 0) , F’(−.√a2+b2√nnnnni , 0) を双曲線の焦点という．
○　点 A(a , 0) , A’(−a, 0) を頂点という．
○　２つの焦点の中点を双曲線の中心という．(1)の双曲線の中心は原点 O( 0 , 0 ) にある．
○　(1)の双曲線は x 軸，y 軸，中心に関して対称となっている．
○　x が限りなく大きくなるとき，双曲線は
直線 y=±.banx

に限りなく近づく．この直線を双曲線の漸近線という．漸近線は２つある．
（漸近線の方程式は(1)の右辺を 0 に変えて，左辺を因数分解したものになっている．
.x2a2nn−.y2b2nn=0

←→(.xan+.ybn)(.xan−.ybn)=0

←→y=−.banx , y=.banx

■
.x2a2nn−.y2b2nn=−1

は，右図２のような双曲線になる．
このとき，焦点は y 軸上にあり，焦点の座標は
F(0 , .√b2+a2√nnnnni ) , F’(0 , −.√b2+a2√nnnnni )
また，主軸は y軸上にあり，頂点の座標は B(0 , b) , B’( 0 ,−b) になる．
※　中学校で習う反比例のグラフ


図１
○　以下の考え方において，三平方の定理（ピタゴラスの定理）を用いて「 a , b から c を求める」「 a , c から b を求める」計算がつねに登場し，この図が鍵となる．（図の意味は，■2で述べる．）






図２
《基本事項のチェック》

.x242nn−.y232nn=1 は，右図３のような形の双曲線で，

焦点の座標は F(5 , 0) , F’(−5 , 0)，
頂点の座標は (4 , 0) , (−4 , 0)
中心の座標は (0 , 0) である．
双曲線の任意の１点を P とするとき，|FP−F’P|=8 となる． 		図３
　問題　
　次の各方程式で表わされる双曲線の概形を描き，頂点の座標，焦点の座標，漸近線の方程式を求めよ．
(1)
　x2−.y24n=1
頂点 (± , )
焦点 (±.√√nni，)
漸近線の方程式 y=±x
(2)
　.x24n−.y25n=−1
頂点 ( , ±.√√nni )
焦点 (，±)

漸近線の方程式 y=±..√√nninnnnx


採点する やり直す 解説
　　

■２ 　焦点の働きと軌跡

　「２定点からの距離の差が一定の動点の軌跡」が双曲線になる．以下にこれを示す
　c>a>0 のとき，F’(−c , 0) , F(c , 0)から距離の差が 2a である点 P(x , y) の軌跡の方程式は，次のように求めることができる．
（ただし，F’P > FP のときは右側に曲線ができ，F’P < FP のときは左側に曲線ができるので，曲線は２つでき，双曲線（双子の曲線）となる．これらは，左右対称（y 軸に関して対称）なので，以下は右半分だけ示す．）
F’P−FP=2a
←→ .√(x+c)2+y2√nnnnnnnnni−.√(x−c)2+y2√nnnnnnnnni=2a
←→ .√(x+c)2+y2√nnnnnnnnni=2a+.√(x−c)2+y2√nnnnnnnnni
両辺を２乗する
→ (x+c)2+y2=4a2+4a.√(x−c)2+y2√nnnnnnnnni+(x−c)2+y2
←→ 4cx=4a2+4a.√(x−c)2+y2√nnnnnnnnni
←→ cx−a2=a.√(x−c)2+y2√nnnnnnnnni
両辺を２乗する
→ c2x2−2a2cx+a4=a2{ (x−c)2+y2}
←→ c2x2−2a2cx+a4=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2
←→ (c2−a2)x2−a2y2=a2(c2−a2)
←→ .x2a2n−.y2c2−a2nnnn=1

　そこで，b2=c2−a2 とおくと，三平方の定理（ピタゴラスの定理）により b は右図の長さになる．

※FP−F’P=2a から左半分が得られる．










※ (1)において x , y 座標を入替えると，
.y2a2nn−.x2b2nn=1

.x2b2nn−.y2a2nn=−1

　（ここに，b2=c2−a2 ）
　a , b の役割を入替えると
.x2a2nn−.y2b2nn=−1

が右図のような双曲線を表わす．		 図４
動点 P の所で２本の糸を輪に通しておき，２本から同じ分量の糸が出てくるようにする．頂点 A においては，F’A−FA=2a が成り立ち，P が動いても差は変らないから，F’P−FP=2a が成り立つ．

　左の変形において，→の部分は同値関係が崩れている（必要条件だけとなっている）が，これは２乗したためで，変形前の右辺が正であると言えれば，十分条件も成り立つ．
　図より，初めの→は両辺とも正だから←も成り立つ．
　a≦x だから，a2≦ax<cx になり，２つ目の→も←は成り立つ．

《要約》
F(c , 0) , F’(−c , 0)から距離の差が 2a である点 P(x , y) の軌跡の方程式は

.x2a2nn−.y2b2nn=1　（ここに，b2=c2−a2 ）
《要約》
F(0 , c) , F’(0 ,−c)から距離の差が 2b である点 P(x , y) の軌跡の方程式は

 .x2a2nn−.y2b2nn=−1　（ここに，b2=c2−a2 ）
■３ 　コンパスで双曲線を描くには
　F(5 , 0) , F’(−5, 0) , A(3 , 0) とすると，FA=2 , F’A=8
F’A−FA=6 となる．
　F , F’ を中心に半径 1, 2, 3, 4, ....の同心円を描いておき，点 A から格子を対角方向にたどっていくと，
F’P−FP=8−2=6
F’P−FP=9−3=6
F’P−FP=10−4=6
F’P−FP=11−5=6
･･･
だから，２点からの差が一定（6）となり，これらをなめらかに結んでいくと双曲線

.x232nn−.y242nn=1
ができる． 		図５
■４ 　自然界にある双曲線

○　[図６]
　（太陽系の中にある惑星などは太陽を１つの焦点とする楕円軌道を描くが）太陽系外から彗星などが高速に近づいて来るときには，双曲線軌道を描き，再び帰ってこない．


○　[図７]
　原子核の近くを正に帯電した高速粒子が通過するとき，原子核と粒子はお互いに正に帯電しているので反発力が働き，粒子の軌道は大きく曲がる．このような場合の粒子の軌道は双曲線になる．（ラザフォード散乱）
■５ 　漸近線に限りなく近づくことの証明
　標準形で表わされる双曲線は，x 軸，y 軸について対称なので，第１象限について双曲線が漸近線に限りなく近づくことを示せばよい．（他は x ，y の符号を変えれば示される．）
　第１象限において，変数 x に対応するする漸近線上の点の座標を y1，双曲線上の点の座標を y2 とおくと，y1−y2 が 0 に近づくことを示せばよい．
　　y1=.banx

また y>0 , x>a のとき，.x2a2nn−.y2b2nn=1 を y について解くと，
　　y2=.ban.√x2−a2√nnnni だから

　　y1−y2=.banx−.ban.√x2−a2√nnnni=.ban(x−.√x2−a2√nnnni)

=.ban.x2−(x2−a2)x+.√x2−a2√nnnnninnnnnnnnn=.ban.a2x+.√x2−a2√nnnnninnnnnnnnn=.abx+.√x2−a2√nnnnninnnnnnnnn

x → ∞ のとき，分母 → ∞ だから，limx→∞limii(y1−y2)=0 が示される． 　		 図６
図７
　問題　
(1)
　２定点 (7 , 0) , (−7 , 0) からの距離の差が 10 となる点の軌跡の方程式を求めよ．
.x2nn−.y2nn=1

(2)
　２定点 (0 , 4) , ( 0 ,−4) からの距離の差が 6 となる点の軌跡の方程式を求めよ．

.x2nn−.y2nn=−1


採点する やり直す 解説

■５ 　原点と異なる点に中心がある双曲線

.(x−p)2a2nnnnn−.(y−q)2b2nnnnn=1　…(2)

　は，双曲線
.x2a2nn−.y2b2nn=1　…(1)

を x 軸の正の向きに p，y 軸の正の向きに q だけ平行移動した双曲線になる．
○　頂点の座標は (a+p , q) , (−a+p , q)
○　焦点の座標 は
F(.√a2+b2√nnnni+p , q) , F’(−.√a2+b2√nnnni+p , q)
○　漸近線の方程式は y−q=±.ban(x−p)

　【解説】
　　(1)の双曲線上の点を (X , Y ) とおくと，
.X2a2nn−.Y2b2nn=1 …(A)

x=X+p …(B)
y=Y+q …(C)　が成り立つ．
　(B)(C)より，X=x−p , Y=y−q を(A)に代入すると，
　.(x−p)2a2nnnnn−.(y−q)2b2nnnnn=1　…(2)　となる．



《初歩的な注意》
x 軸の正の向きに p，y 軸の正の向きに q だけ平行移動しているときに，
.(x_-_p)2a2nnnnn−.(y_-_q)2b2nnnnn=1

になるので，見かけの符号と逆になる点に注意．
.(x+p)2a2nnnnn−.(y+q)2b2nnnnn=1

ならば，x 軸の負の向きに p，y 軸の負の向きに q だけ平行移動したものとなる．
　これは，x=X+p , y=Y+q ←→ X=x−p , Y=y−q の関係による．

.X(x_-_p)2a2nnnnn−.Y(y_-_q)2b2nnnnn=1

のように移動前後の座標を重ねてみると，移動前の座標 X , Y についての関係式が浮かび上がる．このとき，移動前の座標は X=x−p , Y=y−q のように引き算で表わされている．
例題
x2−y2−4x−6y−6=0 の概形を描き，頂点の座標，焦点の座標，漸近線の方程式を求めよ．

答案
次のように変形する．
x2−4x+4　- (y2+6y+9)=1
(x−2)2−(y+3)2=1
(x−2)2−(y+3)2=1

対応する標準形は x2−y2=1
　　a=1 , b=1 → c=.√2√ni
　　頂点は (1 , 0) , (−1 , 0)
　　焦点は (.√2√ni , 0) , (−.√2√ni , 0)
　　漸近線の方程式は y=x , y=−x
(続く→）
 (→続き）
これらを x 軸の正の方向に 2 , y 軸の正の方向に −3 だけ平行移動すると，
　　頂点は (3 ,−3) , (1 ,−3)
　　焦点は (2+.√2√ni ,−3) , (2−.√2√ni ,−3)
　　漸近線の方程式は
　　y=(x−2)−3=x−5
　　y=−(x−2)−3=−x−1
　問題　
(1)
　双曲線 .x216nn−.y29n=1 を x 軸方向に −3，y 軸方向に 4 だけ

平行移動してできる曲線の方程式，頂点の座標，焦点の座標，漸近線の方程式を求めよ．
　方程式 .(x+)2nnnnnnn−.(y−)2nnnnnnn=1

頂点の座標 ( , ) , (−7 , )
焦点の座標 ( , ) , (−8 , )

漸近線の方程式 y=.nn x+.nn , y=−.nn x+.nn






(2)
　双曲線 4x2 −y2+8x+2y+7=0 の概形を描き，頂点の座標，焦点の座標，漸近線の方程式を求めよ．

頂点の座標 ( , ) , ( ,−)
焦点の座標 ( , +.√√nni) , ( , −.√√nni)
漸近線の方程式 y=x+ , y=−x−


採点する やり直す 解説

■［個別の頁からの質問に対する回答］[双曲線の方程式について／17.8.27］
中学校で習う直角双曲線ｘｙ＝ａは、一般的双曲線x2／a2－y2／b2=1の特殊解として導くことはできるのでしょうか？教えて下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

…(A)のに特定の値を与えると，…(B)の形になるかという問いでしたら，そうではないということになります．
これに対して，のグラフを適当に回転すればになるかという問いでしたら，そうですということになります．
そもそも，中学校で習う直角双曲線は「２つの漸近線が直角（）」かつ「焦点が座標軸から45°回転した場所にある」ものです．これに対して，高校で習う双曲線の標準形では「２つの漸近線（）は様々な角度になる」かつ「焦点は座標軸上にある」ものです．そこで，…(A)のうちで，直角双曲線のもの（）で，かつ，原点から図の緑で示した点までの距離をとすると標準形での方程式はすなわち…(1)
このグラフ（旧グラフ）上の点の座標を，原点の周りに45°回転してできるグラフ（新グラフ）上の点の座標をとおくと すなわち
この変換式を(1)に代入して旧座標を消去すると新座標の関係式…(B)になります．
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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります