不定積分（まとめ２）

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

不定積分

*** 高卒から大学初年度程度 ***

== 不定積分（まとめ２･･･三角関数） == ≪記号≫

◎.…

高校生が公式としてすぐに使える方がよいもの

○.…

高校生として結果を覚えている必要はないが，問題として出されたらできるはずのもの

□.…

ヒントなしで高校生に直接問われることはないもの

a, b, c, C.…定数
f(x), g(x), p(x), q(x).…関数
m, n.…

整数の定数（正の整数だけを表す場合は，その式の但し書きに示す）

※この頁はまとめの頁なので，ほとんどの公式について証明を
付けていない．証明が必要な場合は，基本事項を解説している
前の頁を見るか，または，右辺の関数を微分してみるとよい．
特に，合成関数の微分法が必要になります．↓

≪V≫三角関数の不定積分

◎V.1sinx dx=−cosx+C

.cosx dx=sinx+C

.tanx dx=−log|cosx|+C

◎V.2sinax dx=−cosax+C.(a≠0)

.cosax dx=sinax+C.(a≠0)

.tanax dx=−log|cosax|+C.(a≠0)

◎V.3sin(ax+b)dx=−cos(ax+b)+C.(a≠0)

.cos(ax+b)dx=sin(ax+b)+C.(a≠0)

.tan(ax+b)dx=−log|cos(ax+b)|+C.(a≠0)

○V.4sin2x dx=−+C…(*1)

.cos2x dx=++C…(*2)

.tan2x dx=tanx−x+C…(*3)

（解説）
(*1)←
半角公式（２倍角公式）により

sin2α=(1−cos2α)だから

sin2x dx=(1−cos2x)dx=−+C

(*2)←
半角公式（２倍角公式）により

cos2α=(1+cos2α)だから

cos2x dx=(1+cos2x)dx=++C

(*3)←
三角関数の相互関係から

sin2α+cos2α=1 → tan2α+1=

→ tan2α=−1だから

.tan2x dx=(−1)dx

ところで

(tanx)=だからdx=tanx+C

したがって
.tan2x dx=tanx−x+C

a≠0のとき

○V.5sin2ax dx=−+C…(*1)

.cos2ax dx=++C…(*2)

.tan2ax dx=−x+C…(*3)

（解説）
各々t=axとおいて置換積分すれば，上記のV.4に帰着される．

※解説は何回見ても構いません．
（何度も見る方がしっかりと記憶できるでしょう．）
軽くチェック↓解説を読む↑

　はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．

【問題１】

sin3x dx

cos3x dx

tan3x dx

sin3x+C −sin3x+C

cos3x+C −cos3x+C

log|sin3x|+C −log|sin3x|+C

log|cos3x|+C

−log|cos3x|+C

【問題２】

sin(3x+2)dx

cos(3x+2)dx

tan(3x+2)dx

sin(3x+2)+C

−sin(3x+2)+C

cos(3x+2)+C

−cos(3x+2)+C

sin(3x+2)+C −sin(3x+2)+C

cos(3x+2)+C −cos(3x+2)+C

log|cos(3x+2)|+C

−log|cos(3x+2)|+C

【問題３】

sin23x dx

cos23x dx

tan23x dx

−+C

++C

−+C

++C

−+C

++C

−+C

++C

tan3x−3x+C

−x+C

−3x+C

○V.6cosecx dx=dx

.=log()+C=log|tan|+C…(*1)

.secx dx=dx

.=log()+C=log||+C…(*2)

.cotx dx=dx

.=log|sinx|+C…(*3)

（解説）
(*1)←

t=cosxとおくと

=−sinx

dx=−

dx=dx=dx

=−=

=(−)dt

=(log|t−1|−log|t+1|)+C

1−cosx≧0 , 1+cosx≧0
だから絶対値記号は不要

=log||+C

=log()+C

ここで，半角公式（２倍角公式により）

=sin2 , =cos2 だから

log()+C

=log(tan2)+C=log|tan|+C

(*2)←

t=sinxとおくと

=cosx

dx=

dx=dx=dx

==−

=−(−)dt

=−(log|t−1|−log|t+1|)+C

=(log|t+1|−log|t−1|)+C

1−sinx≧0 , 1+sinx≧0
だから絶対値記号は不要

=log||+C

=log()+C

(*3)←

dx=dx=dx

.=log|sinx|+C

○V.7cosec2x dx=dx

.=−cotx+C=−+C…(*1)

.sec2x dx=dx

.=tanx+C…(*2)

.cot2x dx=dx

.=−cotx−x+C=−−x+C…(*3)

（解説）
(*1)←

()=()=
=−

だから

dx=−+C

(*2)←

(tanx)=()==

だから

dx=tanx+C

(*3)←
三角関数の相互関係により
.sin2x+cos2x=1
両辺をsin2xで割ると

.1+=

.dx=(−1)dx

(*1)の結果により，これは次の形に書ける．

.−−x+C

○V.8dx=+C…(*1)

.dx=+C…(*2)

.dx=+C=tan+C…(*3)

.dx=−+C=−cot+C…(*4)

.dx=(x+log|sinx+cosx|)+C…(*5)

.dx=(x−log|sinx−cosx|)+C…(*6)

（解説）
(*1)←

dx=dx=dx

=dx−dx

V.7(*2)により

dx=tanx+C’

また

t=cosxとおくと

=−sinx

dx=−

=−=−dt=+C”

=+C”

ゆえに

dx=tanx−+C=+C

(*2)←符号を変えると，同様にして示される．

(*3)←

dx=dx=dx

=dx−dx

V.7(*1)により

dx=−+C’

また

t=sinxとおくと

=cosx

dx=

==dt=−+C”

=−+C”

ゆえに

dx=−++C=+C

この式は，tanを使って表すこともできる．

２倍角公式により

≪よく使う≫

tanx=

sinx=2sincos=2tancos2=2tcos2=

cosx=2cos2−1=−1=

上の公式により

==t=tan

(*4)←(*3)の符号を変えると，同様にして示される．

(*5)←

.dx=dx=Iとおく

.dx=Jとおく

.I+J=dx=dx=x+C’

.I−J=dx=dx

.=log|sinx+cosx|+C”
これらの和を求めると
.2I=x+log|sinx+cosx|+C

.I=(x+log|sinx+cosx|)+C

(*6)←(*5)の符号を変えると，同様にして示される．

※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと記憶できるでしょう．）
軽くチェック↓解説を読む↑ ←上の解説「そのまんま」の問題であるが，意外にできない！（計算用紙が必要）

はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．

【問題４】

○V.9 a≠±bのとき

sinaxsinbx dx=−+C…(*1)

sinaxcosbx dx=−−+C(*2)

cosaxcosbx dx=++C(*3)

a=bのときは（a=−bのときも）V.5(*1)(*2)の形になる（再掲）
○V.5a≠0のとき

.sin2ax dx=−+C…(*1)

.cos2ax dx=++C…(*2)

（解説）

積を和に直す公式を用いて，被積分関数を変形します．

sinαsinβ={ cos(α−β)−cos(α+β) }

sinαcosβ={ sin(α+β)+sin(α−β) }

cosαcosβ={ cos(α+β)+cos(α−β) }

(*1)←

sinaxsinbx dx

={ cos(a−b)x−cos(a+b)x }dx

={ − }+C

=−+C

(*2)(*3)←上記の積を和に直す公式により同様にして示される．

(*4)←V.4(*1)と同様に，半角公式（２倍角公式）を用いて被積分関数を変形すればできる．

sin2ax dx=(1−cos2ax)dx

=−+C

○V.10 a≠0 , n≠0のとき

sinnaxcosax dx=+C…(*1)

sinaxcosnax dx=−+C…(*2)

（解説）

t=sinaxとおいて置換積分すると

=acosax

dx=

(*1)←

sinnaxcosax dx

=tncosax dt

=tndt=+C

=+C

t=cosaxとおいて置換積分すると

=−asinax

dx=−

(*2)←

cosnaxsinax dx

=−tnsinax dt

=−tndt=−+C

=−+C

○V.11 a≠0 , n≧2のとき

In=sinnax dxとおくと

.In=−+In−2…(*1)

これにより
.I0←I2←I4←I5←...
.I1←I3←I5←I7←...
の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ，

I0= dx=x+C

I1=sinax dx=−+C

に帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．）

Jn=cosnax dxとおくと

.Jn=+Jn−2…(*2)

これにより
.J0←J2←J4←J5←...
.J1←J3←J5←J7←...
の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ，

J0= dx=x+C

J1=cosax dx=+C

に帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．）

（解説）
(*1)←

In=sinn−1axsinax dxと分けると

.f=sinn−1ax	.f '=(n−1)sinn−2ax×acosax
.g'=sinax	.g=−

In=−sinn−1ax+(n−1)sinn−2axcos2ax dx

=−+(n−1)sinn−2ax(1−sin2ax)dx

=−+(n−1)sinn−2ax dx

.−(n−1)sinnax dx

In=−+(n−1)In−2−(n−1)In

nIn=−+(n−1)In−2

したがって

.In=−+In−2

(*2)←同様にして示される．

○V.12 a≠0 , n≧3のとき

Kn==sin−nax dx=I−nとおくと

.Kn=−+Kn−2…(*1)

これにより
.K1←K3←K5←...
.K2←K4←K6←...
の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ，

K1=dx=log|tan|+C

K2=dx=−+C

に帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．）

Ln==cos−nax dx=J−nとおくと

.Ln=+Ln−2…(*1)

これにより
.L1←L3←L5←...
.L2←L4←L6←...
の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ，

L1=dx=log||+C

L2=dx=tanx+C

に帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．）

（解説）
(*1)←
上記のV.11(*1)の解説を見るとn, n−2が0をまたがない限りn<0の場合でも成り立つことがわかる．
n≧2のとき

Kn==sin−nax dx=I−n

I−m=−+I−m−2

だから

Km=+Km+2

ここでは，mの大きな値の式を小さな値の式で表したいから，逆に解くと

Km+2=−+Km

n=m+2とおいてm+2→mの関係をn→n−2の関係に直すと

Kn=−+Kn−2

(*2)←同様にして示される．

○V.13 a≠0 , m,n≧2のとき

I(m,n)=cosmaxsinnax dxとおくと

.I(m,n)=+I(m−2,n)…(*1)

.I(m,n)=−+I(m,n−2)…(*2)

これにより偶数の系列は
.I(m,0)←I(m,2)←I(m,4)←I(m,6)←...
または
.I(0,n)←I(2,n)←I(4,n)←I(6,n)←...
のようにI(m,0)またはI(0,n)に帰着させれば，V.11により求められる．
奇数の系列になるときは
.I(m,1)←I(m,3)←I(m,5)←I(m,7)←...
または
.I(1,n)←I(3,n)←I(5,n)←I(7,n)←...
のようにI(m,1)またはI(1,n)に帰着させれば，V.10により求められる．

（解説）
(*1)←

cosmaxsinnax dx=cosm−1ax×cosaxsinnax dx

のように分けて，次のように部分積分を行う．