← PC用は別頁

== 指数関数，対数関数の不定積分 ==
指数関数，対数関数の積分の多くは置換積分，部分積分の応用問題として登場するが，この頁では置換積分や部分積分を使わなくても（まだ習っていなくても）できる簡単な問題だけを扱う．
≪公式≫
■指数関数の不定積分
exdx=ex+C …(1)
（e=2.71828...は自然対数の底）
ekxdx=ekx+C …(1’)
axdx=+C (a>0, a≠1) …(2)
■対数関数の不定積分
logx dx=x logx−x+C …(3)
底が省略されているとき，対数の底はe．このような自然対数を表すためにln xという記号もよく使われる． (natural logarithm)
≪公式の証明≫
(1)←
(ex)=ex → exdx=ex+C
(1’)←
(ekx)=kekx→(ekx)=ekx
→ekxdx=ekx+C
(2)←
ax=exlogaだから，(1’)により
axdx=exlogadx=exloga+C=+C
(3)←
(x logx−x)=logx+x −1=logx+1−1=logx
→ logxdx=x logx−x+C

※通常(3)は部分積分によって証明されるが，ここでは部分積分を使わずに微分←→積分の関係だけで示した．
例
1.e3xdx=e3x+C ←(1’)
2.2xdx=+C ←(2)
3.log3x dx=(log3+logx)dx
=x log3+x logx−x+C ←(3)
=x(log3+logx)−x+C=x log3x−x+C

問題次の積分を求めよ．
初めに，上の欄から問題を選び，続いて下の選択肢から答を選びなさい．
選択肢

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る