三角関数の不定積分

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

同展開するもの

積分変数がy,t,uなど

積分定数と初期条件

*** 高卒から大学初年度程度 ***

log xの不定積分

sin xの不定積分

cos xの不定積分

sin x,cos xの不定積分

tan x,cot xの不定積分

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== 三角関数の不定積分 ==

三角関数の積分公式

(1)sinxdx=−cosx+C

(1’)sinkxdx=−+C

(1”)sin(ax+b)dx=−+C

(2)cosxdx=sinx+C

(2’)coskxdx=+C

(2”)cos(ax+b)dx=+C

(3)tanxdx=−log|cosx|+C

(3’)tankxdx=−+C

(3”)tan(ax+b)dx=−+C

(解説)
(1)←
(cosx)=−sinx→(−cosx)=sinx

sinxdx=−cosx+C

(1’)←
合成関数の微分法により

=

y=cosu, u=kxとおくと

=−sinu×k=−sinkx×k

(coskx)=−sinkx×k

(−)=sinkx

したがって
sinkxdx=−+C

同様にして, (1”) が得られる.

(ax+b)=aに注意 (定数項は消える).

したがって, −の分母にはbは含まれない.

(2)←
(sinx)=cosx

cosxdx=sinx+C

(2’)←

y=sinu, u=kxとおくと

=cosu×k=coskx×k

(sinkx)=coskx×k

()=coskx

したがって
coskxdx=+C

同様にして, (2”) が得られる.

分母にはbがないことに注意.

(4)dx=−+C=−cotx+C

(4’)dx=−+C=−+C

(4”)dx=−+C

=−+C

(5)dx=tanx+C

(5’)dx=+C

(5”)dx=+C

※今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが，それらの逆数cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です．

【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます．自分が書く必要はなく，今まで通りに書けばよい．
$\rm{cosec}\theta=\frac{1}{\sin\theta},\hspace{5}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\hspace{5}\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
自分が書くときは， $\int\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\frac{1}{\tan x}+ C$
などと書けば十分です．

(3)←

log|x|=

(cosx)=−sinx

y=log|u|, u=cosxとおくと

==×(−sinx)=×(−sinx)=−tanx

(log|cosx|)=−tanx

(−log|cosx|)=tanx

tanxdx=−log|cosx|+C

(3’)←

y=log|s|, s=cost, t=kxとおくと

==(−sint)×k=×(−sint)×k

(log|coskx|)=−tankx×k

(−)=tankx

したがって
tankxdx=−+C

同様にして, (3”)が得られる.

分母にはbがないことに注意.

(4)←

=cotx=

( )=

したがって

(cotx)==−

(−cotx)=

ゆえに
dx=−cotx+C

(4’)(4”) 略

(5)←

tanx=

( )=

だから

(tanx)==

ゆえに
dx=tanx+C

(5’)(5”) 略

例

(1’)sin2xdx=−+C

(1”)sin(2x+1)dx=−+C

(2’)cos2xdx=+C

(2”)cos(2x+1)dx=+C

(3’)tan2xdx=−+C

(4’)dx=−+C

(5’)dx=+C

次の公式を用いると三角関数の積・平方をそれらの和・差に直して積分を求めることができる.

(A)sinαcosβ={sin(α+β)+sin(α−β)}

(B)cosαsinβ={sin(α+β)−sin(α−β)}

(C)cosαcosβ={cos(α+β)+cos(α−β)}

(D)sinαsinβ=−{cos(α+β)−cos(α−β)}

(E)sin2α=

(F)cos2α=

(G)1+tan2α=→tan2α=−1→(5)

(H)1+=→=−1→(4)

例

(A)sin4xcos2xdx={sin6x+sin2x}dx ←(1’)

={−−}+C=−−+C

(C)cos4xcos2xdx={cos6x+cos2x}dx ←(2’)

={+}+C=++C

(D)sin4xsin2xdx=−{cos6x−cos2x}dx ←(2’)

=−{−}+C=−++C

(E)sin22xdx=dx=(x−)+C

=x−+C

(F)cos22xdx=dx=(x+)+C

=x++C

(G)tan22xdx=(−1)dx=−x+C

積分の方がtan2xの次数が低く見えて奇妙な感じを受けるが,これで正しい.

(H)dx=(−1)dx=−−x+C

問題次の不定積分を求めてください.
(解答は選択肢から選んでください.
クリックすれば，採点結果と解説が出ます．
暗算では無理です．別途計算用紙が必要です.)

(1) sin3xdx 解説

++C −+C

+C −+C

+C −+C

(1’)sinkxdx=−+C

→sin3xdx=−+C

(2) sin23xdx 解説

++C −+C

+C −+C

+C −+C

(E)sin2α=

→sin23x=

sin23xdx=()dx ←(2’)

=(x−)+C=−+C

(3) dx 解説

++C −+C

+C −+C

+C −+C

(4”)dx=−+C

→dx=−+C

(4) cos3xdx 解説

++C −+C

+C −+C

+C +C

(2’)coskxdx=+C

→cos3xdx=+C

(5) cos23xdx 解説

++C −+C

+C −+C

+C +C

(F)cos2α=

→cos23x=

cos23xdx=dx ←(2’)

=(x+)+C=++C

(6) dx 解説

++C −+C

+C −+C

+C +C

(5”)dx=+C

→dx=+C

(7) tan3xdx 解説

+x+C −x+C

+x+C −−x+C

+C −+C

(3’)tankxdx=−+C

→tan3xdx=−+C

(8) tan23xdx 解説

+x+C −x+C

+x+C −−x+C

+C −+C

(G)1+tan2α=→tan2α=−1

→tan23xdx=(−1)dx ←(5’)

=−x+C

(9) dx 解説

+x+C −x+C

+x+C −−x+C

+C −+C

(log|sin3x|)=×cos3x×3=

→()=

→dx=+C

(10) dx 解説

+x+C −x+C

+x+C −−x+C

+C −+C

(H)1+=→=−1

→dx=(−1)dx ←(4’)

=−−x+C

(11) sin5xsinxdx 解説

++C −+C

−++C ++C

−+C −−+C

(D)sinαsinβ=−{cos(α+β)−cos(α−β)}

→sin5xsinx=−{cos6x−cos4x}

sin5xsinx dx=−{cos6x−cos4x}dx ←(2’)

=−(−)+C=−++C

(12) sin5xcosxdx 解説

++C −+C

−++C ++C

−+C −−+C

(A)sinαcosβ={sin(α+β)+sin(α−β)}

→sin5xcosx={sin6x+sin4x}

sin5xcosx dx={sin6x+sin4x}dx ←(1’)

=(−−)+C=−−+C

(13) cos5xcosxdx 解説

++C −+C

−++C ++C

−+C −−+C

(C)cosαcosβ={cos(α+β)+cos(α−β)}

→cos5xcosx={cos6x+cos4x}

cos5xcosx dx={cos6x+cos4x}dx ←(2’)

=(+)+C=++C

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.9.5］

いつも参考になってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「いつも参考になってます！」とは微妙な表現かな．主語は何かと一瞬詰まるが，すれすれセーフかな．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.6.28］

公式(4)の中に出てくるーcotとは－cosのことでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが，それらの逆数 cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です．（学習指導要領からの逸脱と言われないように，言ってはならないと自己検閲してしまう）他方で，高専や大学では，そんなことは分かっていて当然という対応もあり，隙間が埋まらないことがあるようです．接続がスムーズに行くように，両方から手を差し伸べる方がよいように思いますが．

【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます．自分が書く必要はなく，今まで通りに書けばよい．
$cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta},\hspace{5}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\hspace{5}\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
自分が書くときは， $\int\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\frac{1}{\tan x}+ C$
などと書けば十分です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.5.28］

3が邪魔
＝＞［作者］：連絡ありがとう．？？それがないと sin kx, cos kxなどの練習にならない

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.8.7］

(5)← 非常に参考になりました。ひとつ訂正箇所があるのですが、三角関数の不定積分の(5)で tanx=sinxcosx d/dx( f(x)g(x))=f’(x)g(x)－f(x)g’(x)/g(x)2 【だから　d/dx(tanx)=cosxcosx－sinx(－cosx)/cos2x=1/cos2x】とありますが【だから　d/dx(tanx)=cosxcosx－sinx(－sinx)/cos2x=1/cos2x】ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.12.8］

非常に分かりやすく、やりがいのあるwebです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．