正弦定理

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== 正弦定理（問題） ==

三角形の辺と角の名前の付け方

　右図のような△ABCがあるとき
(1) 頂点の名前A, B, Cを使ってその内角の大きさを表す．

　例えば，角Aとは∠CABのことを表す．

(2) 各頂点の対辺の長さを対応する小文字で表す．

　例えば，角Aの対辺の長さをBC=aとする．

正弦定理

△ABCの外接円の半径をRとするとき

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

が成り立つ．

正弦定理を使って三角形の辺や角を求める方法

(1) 辺の長さと角の大きさが１組分かっていれば，外接円の半径が求められる．

　例えば，Aとaが分かっていれば，外接円の半径Rが求められる．

\frac{a}{\sin A} = 2 R

(2) a, A, Bのように１組の辺角(a, A)と他の１つの角(B)が分かっていれば，辺bが求められる．

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \to b = \frac{a \sin B}{\sin A}

(3) a, A, bのように１組の辺角(a, A)と他の１つの辺(b)が分かっていれば，角Bが求められる．

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \to \sin B = \frac{b \sin A}{a}

※(3)では一般に角度が２つ求まる可能性があるが，Aと足すと180°以上になる角Bは解にならない．（Cが負になって三角形が描けない）

大きな区分

高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 三角比と図形

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次のような作戦盤を書いて，「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える（Bを攻める）

a	b	c
A	B	C

角が２つ求まると３つ目はただ同然（中学の数学）：C=180°−(A+B)は「ただ」で手に入る

a	b	c
A	B	C

「上下1組がそろった」a, A（b, Bでもよい）と角Cを使って辺cを攻める
　結局，3つの辺と3つの角が全部分かる．［陣取りゲーム完了！］

【問題１】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
△ABCにおいて，

a = 3, A = 120^{\circ}

のとき，外接円の半径Rを求めてください．

…（途中経過）…

\frac{3}{\sin 120^{\circ}} = 2 R

に

\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

を代入すると

\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 R

左辺を

3 \div \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \times \frac{2}{\sqrt{3}}

と変形してもよい

左辺の分母分子に２を掛けると

\frac{6}{\sqrt{3}} = 2 R

R = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \dots

解説やり直す

…（解答の選択肢）…

2

\sqrt{3}

3

\sqrt{6}

R = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}

…（答）

→閉じる←

(2)
△ABCにおいて，

a = 8, A = 45^{\circ}, B = 60^{\circ}

のとき，bを求めてください．

…（途中経過）…

\frac{8}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}}

に

\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

を代入すると

\frac{8}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

左辺を

8 \div \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{1}

と変形してもよい

左辺の分母分子に

\sqrt{2}

を掛けると

8 \sqrt{2}

右辺を

b \div \frac{\sqrt{3}}{2} = b \times \frac{2}{\sqrt{3}}

と変形してもよい

右辺の分母分子に2を掛けると

\frac{2 b}{\sqrt{3}}

方程式は

8 \sqrt{2} = \frac{2 b}{\sqrt{3}} \to b = 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \dots

解説やり直す

…（解答の選択肢）…

2 \sqrt{3}

4 \sqrt{3}

2 \sqrt{6}

4 \sqrt{6}

b = 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{6}

…（答）

→閉じる←

(3)
△ABCにおいて，

a = \sqrt{6}, A = 45^{\circ}, b = \sqrt{3}

のとき，Bを求めてください．

…（途中経過）…

\frac{\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}

に

\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

を代入すると

\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}

\sin B = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}

ここから，B=30°, 150°のどちらが答か，両方とも答かと考えます

解説やり直す

…（解答の選択肢）…

30° 150° 30°と150°

A=45°, B=150°の組は三角形ができない
（A+B>180°だからA+B+C=180°にできない）
A=45°, B=30°の組は三角形ができる．
したがって，B=30° …（答）

→閉じる←

(4)
△ABCにおいて，

b = 2, c = \sqrt{2}, C = 30^{\circ}

のとき，Bを求めてください．

…（途中経過）…

\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}}

に

\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}

を代入すると

\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}

\sin B = \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}

ここから，B=45°, 135°のどちらが答か，両方とも答かと考えます

解説やり直す

…（解答の選択肢）…

45° 135° 45°と135°

B=45°, C=30°の組は三角形ができる
B+C=75°だからA=105°になる）
B=135°, C=30°の組も三角形ができる．
B+C=165°だからA=15°になる）
したがって，B=45°とB=135°の両方 …（答）

※b, c, Cが与えられた三角形は，２辺とその間にない角が与えられており，三角形の決定条件を満たしていません．右図のように，∠C=30°として，Ａを中心に半径

c = \sqrt{2}

の円を描くと底辺とは２か所で交わり，どちらも三角形になります

→閉じる←

※最初のヒントが見えない問題です．計算用紙を使って，よく考えてから答えてください．
【問題２】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
△ABCにおいて，a=8, A=45°のとき，外接円の半径Rを求めてください．

解説やり直す

2

4 \sqrt{3}

4 \sqrt{2}

8 \sqrt{2}

\frac{8}{\sin 45^{\circ}} = 2 R

より

\frac{8}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2 R

R = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}

…（答）

→閉じる←

(2)
△ABCにおいて，b=6, A=45°, B=30°のとき，aを求めてください．

解説やり直す

6 \sqrt{2}

6 \sqrt{3}

12 \sqrt{3}

12 \sqrt{6}

\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin 30^{\circ}}

より

a = \frac{6 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2

= 6 \sqrt{2}

…（答）

→閉じる←

(3)
△ABCにおいて，

a = 2, b = 2 \sqrt{3}, A = 30^{\circ}

のとき，Bを求めてください．

解説やり直す

60° 120° 60°と120°

\frac{2}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sin B}

より

\sin B = \frac{2 \sqrt{3} \sin 30^{\circ}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

B=60°, 120°…(答)

※a, b, Aが与えられた三角形は，２辺とその間にない角が与えられており，三角形の決定条件を満たしていません．右図のように，∠A=30°として，Cを中心に半径2の円を描くと底辺とは２か所で交わり，どちらも三角形になります

→閉じる←

(4)
△ABCにおいて，a=10, B=60°, C=75°のとき，bを求めてください．

解説やり直す

2 \sqrt{6}

5 \sqrt{6}

10 \sqrt{3}

10 \sqrt{6}

※a, B, Cのように既知の辺角が１組もないときは，そのままでは正弦定理を使えません．
初めに，A=180°−(B+C)によりAを求めておきます．
A=180°−(B+C)=45°

\frac{10}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}}

b = \frac{10 \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{1} = 5 \sqrt{6}

…(答)

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