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三角形の辺と角の名前の付け方
右図のような△ABCがあるとき(1) 頂点の名前A, B, Cを使ってその内角の大きさを表す.
例えば,角Aとは∠CABのことを表す.
(2) 各頂点の対辺の長さを対応する小文字で表す.
例えば,角Aの対辺の長さをBC=aとする.
正弦定理
△ABCの外接円の半径をRとするときが成り立つ. 正弦定理を使って三角形の辺や角を求める方法
(1) 辺の長さと角の大きさが1組分かっていれば,外接円の半径が求められる.
例えば,Aとaが分かっていれば,外接円の半径Rが求められる.
(2) a, A, Bのように1組の辺角(a, A)と他の1つの角(B)が分かっていれば,辺bが求められる.(3) a, A, bのように1組の辺角(a, A)と他の1つの辺(b)が分かっていれば,角Bが求められる. ※(3)では一般に角度が2つ求まる可能性があるが,Aと足すと180°以上になる角Bは解にならない.(Cが負になって三角形が描けない) |
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次のような作戦盤を書いて,「上下1組がそろっていれば」正弦定理が使える(Bを攻める)
角が2つ求まると3つ目はただ同然(中学の数学):C=180°−(A+B)は「ただ」で手に入る
「上下1組がそろった」a, A(b, Bでもよい)と角Cを使って辺cを攻める 結局,3つの辺と3つの角が全部分かる.[陣取りゲーム完了!] |
【問題1】 (選択肢の中から正しいものをクリック)
(1)
…(途中経過)…△ABCにおいて, のとき,外接円の半径Rを求めてください. にを代入すると
左辺を
左辺の分母分子に2を掛けるとと変形してもよい …(解答の選択肢)… |
(2)
…(途中経過)…△ABCにおいて, のとき,bを求めてください. に を代入すると
左辺を
左辺の分母分子に を掛けるとと変形してもよい
右辺を
右辺の分母分子に2を掛けるとと変形してもよい 方程式は …(解答の選択肢)… |
(3)
…(途中経過)…△ABCにおいて, のとき,Bを求めてください. に を代入すると ここから,B=30°, 150°のどちらが答か,両方とも答かと考えます …(解答の選択肢)…
A=45°, B=150°の組は三角形ができない
(A+B>180°だからA+B+C=180°にできない) A=45°, B=30°の組は三角形ができる. したがって,B=30° …(答) |
(4)
…(途中経過)…△ABCにおいて, のとき,Bを求めてください. に を代入すると ここから,B=45°, 135°のどちらが答か,両方とも答かと考えます …(解答の選択肢)…
B=45°, C=30°の組は三角形ができる
B+C=75°だからA=105°になる) B=135°, C=30°の組も三角形ができる. B+C=165°だからA=15°になる) したがって,B=45°とB=135°の両方 …(答)
※b, c, Cが与えられた三角形は,2辺とその間にない角が与えられており,三角形の決定条件を満たしていません.右図のように,∠C=30°として,Aを中心に半径 の円を描くと底辺とは2か所で交わり,どちらも三角形になります
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※最初のヒントが見えない問題です.計算用紙を使って,よく考えてから答えてください. 【問題2】 (選択肢の中から正しいものをクリック)
(1)
△ABCにおいて,a=8, A=45°のとき,外接円の半径Rを求めてください. |
(2)
△ABCにおいて,b=6, A=45°, B=30°のとき,aを求めてください. |
(3)
△ABCにおいて, のとき,Bを求めてください. より B=60°, 120°…(答)
※a, b, Aが与えられた三角形は,2辺とその間にない角が与えられており,三角形の決定条件を満たしていません.右図のように,∠A=30°として,Cを中心に半径2の円を描くと底辺とは2か所で交わり,どちらも三角形になります
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(4)
△ABCにおいて,a=10, B=60°, C=75°のとき,bを求めてください.
※a, B, Cのように既知の辺角が1組もないときは,そのままでは正弦定理を使えません.
初めに,A=180°−(B+C)によりAを求めておきます. A=180°−(B+C)=45° …(答) |