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【センター試験 2006年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて，
AE=.√10√nni, AF=8, AH=10
とする．
　このとき，FH=アイであり，cos∠FAH=.ウエnnnである．
また，三角形AFHの面積はオカ.√キ√nnniである．



0重心 1外心 2内心

　また，AP=ケであり，したがって，
PF:PR=コ:1
となる．さらに，四面体EAPRの体積はサ.√シ√nnniである．


［補足説明］
　三角形において，

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【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=2, BC=.√5√ni+1, CA=2.√2√niとする．また△ABCの外接円の中心をOとする．

(1)　このとき，∠ABC=アイ°であり，外接円Oの半径は .ウエnn.√オ√nnni
である．

(2)　円Oの円周上に点Dを，直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる．
　△ABDの面積をS1，△BCDの面積をS2とするとき
.S1S2nn=.√5√ni−1 ……①
であるとする．∠BAD+∠BCD=カキク°であるから CD=.ケコnnnAD
となる．このとき CD=.サシnn.√スセ√nnnnni
である．

　さらに，２辺AD, BCの延長の交点をEとし，△ABEの面積をS3，△CDEの面積をS4とする．このとき .S3S4nn=.ソタnnn ……②
である．①と②より .S2S4nn=..√チ√nnniツnnnnn ……②
となる．

【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=7, BC=4.√2√ni, ∠ABC=45°とする．
また，△ABCの外接円の中心をOとする．

　このとき，CA=アであり，外接円Oの半径は.イウnn.√エ√nnni
である．
　外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点DをCD=.√10√nniであるようにとる．∠ADC=オカ°であるから，AD=xとするとxは２次方程式 を満たす．x>0であるから，AD=サ.√シ√nnniとなる．

　下のス，セ，ツには，次の0～5のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

0AC 1AD 2AE 3BA 4CD 5ED

　点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする．このとき，∠CAE=∠スEであるから，△ACEと△Dセは相似である．
これより， 　EA=.ソタnn.√チ√nnniEC
である．また，EA2=ツ · ECである．したがって 　EA=.テトナnnnn.√ニ√nnni
であり，△ACEの面積は.ヌネノnnnnである．

【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=1, BC=.√7√ni, AC=2とし，∠CABの二等分線と辺BCとの交点をDとする．

　このとき，∠CAB=アイウ°であり
BD=..√エ√nnniオnnnn , CD=.カ.√キ√nnniクnnnnnn
である．

　ADの延長と△ABCの外接円Oとの交点のうちAと異なる方をEとする．このとき，∠DABと等しい角は，次の0～4のうちケとコである．ただし，ケとコの解答の順序は問わない．

0∠DBE 1∠ABD 2∠DEC 3∠CDE 4∠BEC

これより，BE=.√サ√nnniである．また，DE=.シスnnである． 　次に，△BEDの外接円の中心をO’とすると， O’B=.セ.√ソ√nnniタnnnnnn
であり tan∠EBO’=..√チ√nnniツnnnn
である．

※元の問題では［ケ］と［コ］の解答の順序は問わないことになっていますが，ここではコンピュータで採点する都合上，［ケ］<［コ］となるように答えてください．

【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCをAB=3, BC=4, CA=5である直角三角形とする．

(1) △ABCの内接円の中心をOとし，円Oが３辺BC, CA, ABと接する点をそれぞれP, Q, Rとする．このとき，OP=OR=アである．また， QR=.イ.√ウ√nnniエnnnnnnであり，sin∠QPR=.オ.√カ√nnniキnnnnnnである．

(2) 円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする．このとき AP=.√クケ√nnnniであり，SP=.コ.√サシ√nnnnniスnnnnnnnnである．
また，点Sから辺BCへ垂線を下ろし，垂線とBCとの交点をHとする．このとき HP=.セソnnn , SH=.タチnnn
である．したがって，tan∠BCS=.ツテnnnである．
(3) 円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる． このとき，tan∠BCT=.トナnnnである．よって，∠RSC=ニヌ°
であり，∠PSC=ネノ°である．

【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　点Oを中心とする円Oの円周上に４点A, B, C, Dがこの順にある．四角形ABCDの辺の長さは，それぞれ
AB=.√7√ni, BC=2.√7√ni, CD=.√3√ni, DA=2.√3√ni
であるとする．

(1) ∠ABC=θ, AC=xとおくと，△ABCに着目して
x2=アイ−28cosθ
となる．また，△ACDに着目して
x2=15+ウエcosθ
となる．よって，cosθ=.オカnnn, x=.√キク√nnnniであり，円Oの半径は .√ケ√nnniである．

　また，四角形ABCDの面積はコ.√サ√nnniである．

(2) 点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると，∠OAE=シス°である．また，線分OEと辺ADの交点をFとすると，∠AFE=セソ°であり，
OF · OE=タ
である．
　さらに，辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする．点Eから直線OGに垂線を下ろし，直線OGとの交点をHとする．
　４点E, G, チは同一円周上にある．チに当てはまるものを次の0～4から一つ選べ．

0C , F 1H , D 2H , F 3H , A 4O , A
したがって，
OH · OG=ツ
である．

【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第３問】
　△ABCにおいて，AB=AC=3, BC=2であるとき cos∠ABC=.アイnn , sin∠ABC=.ウ.√エ√nnniオnnnnnn
であり，△ABCの面積はカ.√キ√nnni，△ABCの内接円Iの半径は ..√ク√nnniケnnnn
である．
　また，円Iの中心から点Bまでの距離は..√コ√nnniサnnnnである．

(1) 辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを，BP=BQ
かつPQ=.23nとなるようにとる．このとき，△PBQの外接 円Oの直径は..√シ√nnniスnnnnであり，円Iと円Oはセ．ただし，セ
には次の0～4から当てはまるものを一つ選べ．

0重なる（一致する） 1内接する 2外接する
3異なる２点で交わる 4共有点をもたない

(2) 円I上に点Eと点Fを，３点C, E, Fが一直線上にこの順に並び，かつ，CF=.√2√niとなるようにとる．このとき CE=..√ソ√nnniタnnnn , .EFCEnn=チ
である．
　さらに，円Iと辺BCとの接点をD，線分BEと線分DFとの交点をG，線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする． このとき，.GMCGnnn=.ツテnnnである．

最後の問題の解説、点Gは△ABCではなく△FBCの重心ではないでしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．また，(1)以下の文章で根号の表示がずれていましたので直しました．