三角形の証明問題

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== 正弦定理・余弦定理の応用…三角形の証明問題 ==
《解説》
■　正弦定理・余弦定理の応用として，辺と角度を含む式を証明する問題があります．次の例のように，「△ABCについて，．．．が成立することを証明しなさい」という形で指示されているときには，特定の形の三角形ではなく，「すべての」三角形について成立することを示すことになります．

【例】
△ABCについて，a=bcosC+ccosBが成立することを証明しなさい．

(答案)・・・教科書などで証明済みの「正弦定理」や「余弦定理」を用いて，左辺と右辺が等しいことを示せばよい．
（右辺）＝＝＝＝ａ＝（左辺）

　しかし，ホームページの中で，「証明の途中経過を採点するのは難しい」ので，ここでは問題の形を変えて，等しい式を選択する問題とします．もとの証明問題は容易に復元できると思います．

大きな区分

高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 三角比と図形

現在地と前後の項目

正弦定理（解説） /正弦定理（問題）/分数型の方程式/分数型の方程式2/余弦定理/三辺→角/三角形を解くとは/余弦定理の２次方程式/筆算だけで解く問題(1)/筆算だけで解く問題(2)/最大角・最小角/三角形の形状問題/三角形の証明問題/ヘロンの公式/内接円の半径/正弦･余弦･面積(センター問題1)/三角比のセンター試験問題2/正弦･余弦･面積(センター問題3)/

《問題》　△ABCにおいて，次の式に等しいものを下の欄から選んでください．

正しいと思う選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．選択肢をクリックしなければ，解説は出ません．
正答の場合の採点結果⇒

誤答の場合の採点結果⇒

[第1問 / 全10問]

a (\sin B + \sin C)

c (\sin^{2} A + \sin^{2} B)

(b - c) \sin A + (c - a) \sin B + (a - b) \sin C

a (\cos B - \cos C)

\frac{c \cos B}{b} - \frac{c \cos A}{a}

a (b \cos C - c \cos B)

a^{2} + b^{2} + c^{2}

a \cos A \sin C

\frac{a - c \cos B}{b - c \cos A}

\frac{\tan B}{\tan C}

* * END * *

解説次の問題

【選択肢】

0

b^{2} - c^{2}

\frac{a}{b} - \frac{b}{a}

\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2} + c^{2}}

(b + c) \sin A

\sin C (a \sin A + b \sin B)

\frac{\sin B}{\sin A}

2 (b c \cos A + c a \cos B + a b \cos C)

(b - a \cos C) \sin A

(c - b) (1 + \cos A)

a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

a (\sin B + \sin C)

= a (\frac{b}{2 R} + \frac{c}{2 R}) = \frac{a (b + c)}{2 R}

(b + c) \sin A

= (b + c) \frac{a}{2 R} = \frac{a (b + c)}{2 R}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

c (\sin^{2} A + \sin^{2} B)

= c {(\frac{a}{2 R})^{2} + (\frac{b}{2 R})^{2}} = \frac{c (a^{2} + b^{2})}{4 R^{2}}

\sin C (a \sin A + b \sin B)

= \frac{c}{2 R} (a \times \frac{a}{2 R} + b \times \frac{b}{2 R}) = \frac{c (a^{2} + b^{2})}{4 R^{2}}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

(b - c) \sin A + (c - a) \sin B + (a - b) \sin C

= (b - c) \times \frac{a}{2 R} + (c - a) \times \frac{b}{2 R} + (a - b) \times \frac{c}{2 R}

= \frac{1}{2 R} (a b - a c + b c - a b + a c - b c)

0

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

a (\cos B - \cos C)

= a (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})

= \frac{b (a^{2} + c^{2} - b^{2}) - c (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2 b c}

= \frac{a^{2} b + b c^{2} - b^{3} - a^{2} c - b^{2} c + c^{3}}{2 b c}

(c - b) (1 + \cos A)

= (c - b) (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})

= (c - b) \frac{2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

= \frac{2 b c^{2} + b^{2} c + c^{3} - a^{2} c - 2 b^{2} c - b^{3} - b c^{2} + a^{2} b}{2 b c}

= \frac{b c^{2} + c^{3} - a^{2} c - b^{2} c - b^{3} + a^{2} b}{2 b c}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

※この問題は，計算がやや込み入ったものになっている →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\frac{c \cos B}{b} - \frac{c \cos A}{a}

= \frac{c}{b} \times \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} - \frac{c}{a} \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

= \frac{1}{2 a b} (a^{2} + c^{2} - b^{2} - b^{2} - c^{2} + a^{2})

= \frac{1}{2 a b} {2 (a^{2} - b^{2})}

= \frac{a^{2} - b^{2}}{a b}

\frac{a}{b} - \frac{b}{a}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

a (b \cos C - c \cos B)

= a (b \times \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} - c \times \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})

= \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2} - \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2}

b^{2} - c^{2}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

2 (b c \cos A + c a \cos B + a b \cos C)

= 2 (b c \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + c a \cdot \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} + a b \cdot \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})

b^{2} + c^{2} - a^{2} + a^{2} + c^{2} - b^{2} + a^{2} + b^{2} - c^{2}

a^{2} + b^{2} + c^{2}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい．

→解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

a \cos A \sin C

= a \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \times \frac{c}{2 R}

= \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{4 b R}

(b - a \cos C) \sin A

= (b - a \times \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}) \times \frac{a}{2 R}

= (\frac{2 b^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 b}) \times \frac{a}{2 R}

= (\frac{b^{2} - a^{2} + c^{2}}{2 b}) \times \frac{a}{2 R}

= \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{4 b R}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す← a, b, cなどの辺の長さと，A, B, Cなどの角の大きさを含む式は，辺の長さにだけに直すのが基本です．

\frac{a - c \cos B}{b - c \cos A}

= \frac{a - c \times \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}}{b - c \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}

= \frac{\frac{2 a^{2} - a^{2} - c^{2} + b^{2}}{2 a}}{\frac{2 b^{2} - b^{2} - c^{2} + a^{2}}{2 b}}

= \frac{\frac{a^{2} - c^{2} + b^{2}}{2 a}}{\frac{b^{2} - c^{2} + a^{2}}{2 b}}

= \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a} \times \frac{2 b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}

= \frac{b}{a}

\frac{\sin B}{\sin A}

= \frac{\frac{b}{2 R}}{\frac{a}{2 R}}

= \frac{b}{2 R} \times \frac{2 R}{a}

= \frac{b}{a}

\frac{\tan B}{\tan C}

= \frac{\frac{\sin B}{\cos B}}{\frac{\sin C}{\cos C}}

= \frac{\frac{b}{2 R} \times \frac{2 a c}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}}{\frac{c}{2 R} \times \frac{2 a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}}

= \frac{a b c}{R (a^{2} + c^{2} - b^{2})} \times \frac{R (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{a b c}

\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2} + c^{2}}

したがって，上記の　で示した２つの式は等しい． →解説を隠す←

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