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【平方完成の変形3】
x2の係数が1以外のとき，平方完成の変形を行うには，初めにその係数をくくり出してx2の係数が1になるようにします．
【例】　$2x^2+4x=2(x^2+2x)$
この形にしてから，（　　）の中を今までやってきた方法で平方完成します．
$=2\{(x+1{)}^2-1\}$
最終的に答えの形にするときは「外側の｛　　｝をはずして」答えます．
$=2(x+1{)}^2-2$
※内側の（　　）をはずしてしまうと，元に戻ってしまうので注意．
【変形の注意点】
かっこをはずす→$3(x^2+2x)=3x^2+6x$
かっこでくくる→$3x^2+6x=3(x^2+2x)$

間違い計算→$-3x^2+6x=-3(x^2+2x)$
正しい計算→$-3x^2+6x=-3(x^2-2x)$


整数でくくる→$3x^2+6x=3(x^2+2x)$
分数でくくる→${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+2x={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2+6x)$
※「あやしい」「よくわからない」と思ったら，かっこをはずしたときに元に戻るかどうか目で確かめるようにします．

※マイナスの符号と分数の係数が混ざると，間違いが非常に多くなる傾向がありますので，幾つか正しい例を示しておきます．
${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+2x)$
${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-4x={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-8x)$
$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+6x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-12x)$
$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-5x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+10x)$

定数項があるときに，かっこの内側に入れてしまうと，最後に再び外側に出さなければなりません．
出したり入れたりすると，計算間違いの元ですから，外に置いたままにして，平方完成から出てくる定数項と差し引きして答えます．
まずい計算→$2x^2+4x+1=2(x^2+2x+\frac{1}{2})$
$=2\{(x+1{)}^2-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$
$=2\{(x+1{)}^2-\frac{1}{2}\}$
$=2(x+1{)}^2-1$
よい計算→$2x^2+4x+1=2(x^2+2x)+1$
$=2\{(x+1{)}^2-1\}+1$
$=2(x+1{)}^2-2+1$
$=2(x+1{)}^2-1$

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A, B, Cを定数として，A(x+B)2+Cの形に直してください

(1) 3x2+24x+40

3(x+4)2+24 3(x+8)2−24
3(x+4)2−8 3(x+12)2−104

3x2+24x+40=3(x2+8x)+40
=3{(x+4)2−16}+40
=3(x+4)2−48+40
=3(x+4)2−8…（答）

(2) 2x2−8x+5

2(x−2)2−3 2(x−2)2−1
2(x−4)2−28 2(x−2)2−11

2x2−8x+5=2(x2−4x)+5
=2{(x−2)2−4}+5
=2(x−2)2−8+5
=2(x−2)2−3…（答）

(3) −x2+4x−3

−(x+2)2−7 −(x−2)2−7
−(x+2)2+1 −(x−2)2+1

−x2+4x−3=−(x2−4x)−3
=−{(x−2)2−4}−3
=−(x−2)2+4−3
=−(x−2)2+1…（答）

(4) −3x2−6x+2

−3(x+1)2−1 −3(x+1)2+5
−3(x−1)2−1 −3(x−1)2+5

−3x2−6x+2=−3(x2+2x)+2
=−3{(x+1)2−1}+2
=−3(x+1)2+3+2
=−3(x+1)2+5…（答）

暗算では無理です．計算用紙を使ってよく考えてから答えてください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．

(1) 4x2−6x+1

$4(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}$ $4(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{7}{4}}$
$4(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ $4(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^2+{\displaystyle \frac{7}{16}}$

$4x^2-6x+1=4(x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x)+1$
$=4\{(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{16}}\}+1$
$=4(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}+1$
$=4(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ …（答）

(2) −x2−3x+1

$-(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ $-(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$
$-(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ $-(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$

$-x^2-3x+1=-(x^2+3x)+1$
$=-\{(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}\}+1$
$=-(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}+1$
$=-(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$ …（答）

(3) 3x2+x+1

$3(x+{\displaystyle \frac{1}{6}}{)}^2+{\displaystyle \frac{11}{12}}$ $3(x+{\displaystyle \frac{1}{6}}{)}^2+{\displaystyle \frac{35}{36}}$
$3(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2+{\displaystyle \frac{8}{9}}$ $3(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

$3x^2+x+1=3(x^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}x)+1$
$=3\{(x+{\displaystyle \frac{1}{6}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{36}}\}+1$
$=3(x+{\displaystyle \frac{1}{6}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{12}}+1$
$=3(x+{\displaystyle \frac{1}{6}}{)}^2+{\displaystyle \frac{11}{12}}$ …（答）

(4) −x2−x+3

$-(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{11}{4}}$ $-(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$
$-(x+1{)}^2+2$ $-(x+1{)}^2+4$

$-x^2-x+3=-(x^2+x)+3$
$=-\{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\}+3$
$=-(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{4}+3$
$=-(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$ …（答）

暗算では無理です．計算用紙を使ってよく考えてから答えてください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．

(1) ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-7$

${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-5$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{15}{2}}$
${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2+{\displaystyle \frac{15}{16}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-7={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+2x)-7$
${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-7={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+2x)-7$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}-7$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{15}{2}}$ …（答）

(2) $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}x-3$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{13}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{37}{4}}$
$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{8}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{71}{32}}$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}x-3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}x)-3$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{(x+{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}\}-3$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2+{\displaystyle \frac{25}{32}}-3$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{5}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{71}{32}}$ …（答）

(3) $-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2-x+2$

$-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{5}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{5}{4}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{11}{4}}$

$-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2-x+2=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2+3x)+2$
$=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\{(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}\}+2$
$=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}+2$
$=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{11}{4}}$ …（答）

(4) $-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

$-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}$
$-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ $-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

$-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}x)-{\displaystyle \frac{1}{3}}$
$=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\{(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}\}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$
$=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$
$=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ …（答）