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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 二次関数

【平方完成の変形1】
$(x+a{)}^2=x^2+2ax+a^2$
だから，右辺から書くと
$x^2+2ax+a^2=(x+a{)}^2$
$a^2$を移項すると
$x^2+2ax=(x+a{)}^2-a^2$
$2a=A$とおくと
$x^2+Ax=(x+{\displaystyle \frac{A}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{A}{2}}{)}^2$…(1)

【例題１】　次の式を平方完成してください．
x2+6x

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(1) x2+2x

(x+1)2−1 (x−1)2+1
(x+2)2−4 (x−2)2+4

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2+2x=(x+1)2−12=(x+1)2−1…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2+2x=x2+2·1·x+12−12=(x+1)2−1…（答）

(2) x2+4x

(x+1)2−1 (x+2)2−4
(x+4)2−16 (x+8)2−16

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2+4x=(x+2)2−22=(x+2)2−4…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2+4x=x2+2·2·x+22−22=(x+2)2−4…（答）

(3) x2+8x

(x+4)2−2 (x+4)2−4
(x+4)2−8 (x+4)2−16

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2+8x=(x+4)2−42=(x+4)2−16…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2+8x=x2+2·4·x+42−42=(x+4)2−16…（答）

【平方完成の変形2】
先に述べた公式(1)は，Aが負の数でも成り立つが，符号で間違う生徒が多いので，分けて書いてみると． $(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2$
右辺から書くと
$x^2-2ax+a^2=(x-a{)}^2$
$a^2$を移項すると
$x^2-2ax=(x-a{)}^2-a^2$
2a=Aとおくと
$x^2-Ax=(x-{\displaystyle \frac{A}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{A}{2}}{)}^2$…(2)

【例題２】　次の式を平方完成してください．
x2−8x

(A方式)
(x−4)2−42=(x−4)2−16

(B方式)
とにかく2乗の展開式を作ると x2−8x+16だから
x2−8x+16−16
=(x−4)2−16

** 危険な落とし穴 **
カッコ内のマイナスをプラスで打ち消そうとしてはダメ
(x−4)2+16は×
(x−4)2−16が○
(x−4)2=x2−8x+16
だから「引かないと合わない」

(1) x2−4x

(x−2)2+4 (x−2)2−4
(x−4)2+16 (x−4)2−16

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2−4x=(x−2)2−22=(x−2)2−4…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2−4x=x2−2·2·x+22−22=(x−2)2−4…（答）

(2) x2−10x

(x−5)2+25 (x−5)2−25
(x−10)2+100 (x−10)2−100

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2−10x=(x−5)2−52=(x−5)2−25…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2−10x=x2−2·5·x+52−52=(x−5)2−25…（答）

(3) x2−6x

(x−6)2+12 (x−6)2−36
(x−3)2−6 (x−3)2−9

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
x2−6x=(x−3)2−32=(x−3)2−9…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
x2−6x=x2−2·3·x+32−32=(x−3)2−9…（答）

【例題３】　次の式を平方完成してください．
x2+3x

ここら辺から暗算では無理になりますので，計算用紙を使って計算してから答えてください．
まぐれで当たっても実力は付きません．

(1) $x^2+5x$

$(x+5{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ $(x+5{)}^2-5$
$(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-5$ $(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2+5x=(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2=(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2+5x=x^2+2\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}x+({\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2$
$=(x+{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$…（答）

(2) $x^2+9x$

$(x+9{)}^2-18$ $(x+9{)}^2-81$
$(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2-5$ $(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{81}{4}}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2+9x=(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2=(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{81}{4}}$…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2+9x=x^2+2\cdot {\displaystyle \frac{9}{2}}x+({\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2$
$=(x+{\displaystyle \frac{9}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{81}{4}}$…（答）

(3) $x^2+x$

$(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$(x+1{)}^2-1$ $(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2+x=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2+x=x^2+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}x+({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$
$=(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$…（答）

【例題４】　次の式を平方完成してください．
x2−5x

(1) $x^2-3x$

$(x-3{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ $(x-3{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}$
$(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}$ $(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2-3x=(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2=(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}$…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2-3x=x^2-2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}x+({\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2$
$=(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}$…（答）

(2) $x^2-7x$

$(x-{\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{49}{2}}$ $(x-{\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}$
$(x-7{)}^2+{\displaystyle \frac{7}{2}}$ $(x-7{)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2-7x=(x-{\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2=(x-{\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}$…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2-7x=x^2-2\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}x+({\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2-({\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2$
$=(x-{\displaystyle \frac{7}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}$…（答）

(3) $x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$

$(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-1$ $(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$
$(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}$

(A) →（１次の係数の半分）→（さらにその２乗）と考える場合
$x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x=(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2-({\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2=(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}$…（答）
(B) →（とにかく２乗の展開式を作ることから始める場合）
$x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x=x^2-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}x+({\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2-({\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2$
$=(x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}$…（答）

【平方完成の変形3】
x2の係数が1以外のとき，平方完成の変形を行うには，初めにその係数をくくり出してx2の係数が1になるようにします．
【例】　$2x^2+4x=2(x^2+2x)$
この形にしてから，（　　）の中を今までやってきた方法で平方完成します．
$=2\{(x+1{)}^2-1\}$
最終的に答えの形にするときは「外側の｛　　｝をはずして」答えます．
$=2(x+1{)}^2-2$
※内側の（　　）をはずしてしまうと，元に戻ってしまうので注意．
【変形の注意点】
かっこをはずす→$3(x^2+2x)=3x^2+6x$
かっこでくくる→$3x^2+6x=3(x^2+2x)$

間違い計算→$-3x^2+6x=-3(x^2+2x)$
正しい計算→$-3x^2+6x=-3(x^2-2x)$


整数でくくる→$3x^2+6x=3(x^2+2x)$
分数でくくる→${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+2x={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2+6x)$
※「あやしい」「よくわからない」と思ったら，かっこをはずしたときに元に戻るかどうか目で確かめるようにします．

※マイナスの符号と分数の係数が混ざると，間違いが非常に多くなる傾向がありますので，幾つか正しい例を示しておきます．
${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+2x)$
${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-4x={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-8x)$
$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+6x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-12x)$
$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-5x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+10x)$


定数項があるときに，かっこの内側に入れてしまうと，最後に再び外側に出さなければなりません．
出したり入れたりすると，計算間違いの元ですから，外に置いたままにして，平方完成から出てくる定数項と差し引きして答えます．
まずい計算→ $2x^2+4x+1=2(x^2+2x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$
$=2\{(x+1{)}^2-1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$
$=2\{(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\}$
$=2(x+1{)}^2-1$
よい計算→ $2x^2+4x+1=2(x^2+2x)+1$
$=2\{(x+1{)}^2-1\}+1$
$=2(x+1{)}^2-2+1$
$=2(x+1{)}^2-1$

(1) $2x^2+4x$

$2(x+2{)}^2-2$ $2(x+2{)}^2-4$
$2(x+1{)}^2-1$ $2(x+1{)}^2-2$

$2x^2+4x=2(x^2+2x)$
$=2\{(x+1{)}^2-1\}$
$=2(x+1{)}^2-2$…（答）

(2) $3x^2-12x$

$3(x-2{)}^2-4$ $3(x-2{)}^2-12$
$3(x-6{)}^2-9$ $3(x-6{)}^2-36$

$3x^2-12x=3(x^2-4x)$
$=3\{(x-2{)}^2-4\}$
$=3(x-2{)}^2-12$…（答）

(3) $-x^2+6x$

$-(x-3{)}^2-9$ $-(x-3{)}^2+9$
$-(x+3{)}^2-9$ $-(x+3{)}^2+9$

$-x^2+6x=-(x^2-6x)$
$=-\{(x-3{)}^2-9\}$
$=-(x-3{)}^2+9$…（答）

(4) $-2x^2-8x$

$-2(x+2{)}^2+8$ $-2(x+2{)}^2-8$
$-2(x-2{)}^2+8$ $-2(x-2{)}^2-8$

$-2x^2-8x=-2(x^2+4x)$
$=-2\{(x+2{)}^2-4\}$
$=-2(x+2{)}^2+8$…（答）

暗算ではできません．計算用紙を使って計算してから答てください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．

(1) ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2x$

${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-1$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-2$
${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2{)}^2-2$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2{)}^2-4$

${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2x={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+4x)$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\{(x+2{)}^2-4\}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2{)}^2-2$…（答）

(2) ${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2-2x$

${\displaystyle \frac{1}{3}}(x-1{)}^2-1$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}(x-1{)}^2-3$
${\displaystyle \frac{1}{3}}(x-3{)}^2-3$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}(x-3{)}^2-9$

${\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2-2x={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^2-6x)$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}\{(x-3{)}^2-9\}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}(x-3{)}^2-3$…（答）

(3) $-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ $-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2{)}^2+1$ $-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2{)}^2-1$

$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2-2x)$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{(x-1{)}^2-1\}$
$=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$…（答）

(4) $-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2-4x$

$-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x-3{)}^2+6$ $-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x-3{)}^2-6$
$-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+3{)}^2+6$ $-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+3{)}^2-6$

$-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2-4x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x^2+6x)$
$=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\{(x+3{)}^2-9\}$
$=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+3{)}^2+6$…（答）

(1) $2x^2+8x+5$

$2(x+2{)}^2-4$ $2(x+2{)}^2-3$
$2(x+2{)}^2+1$ $2(x+2{)}^2+3$

$2x^2+8x+5=2(x^2+4x)+5$
$=2\{(x+2{)}^2-4\}+5$
$=2(x+2{)}^2-8+5=2(x+2{)}^2-3$…（答）

(2) $2x^2-4x+3$

$2(x-1{)}^2+1$ $2(x-1{)}^2+2$
$2(x-1{)}^2-1$ $2(x-1{)}^2-2$

$2x^2-4x+3=2(x^2-2x)+3$
$=2\{(x-1{)}^2-1\}+3$
$=2(x-1{)}^2-2+3=2(x-1{)}^2+1$…（答）

(3) $x^2-3x+1$

$(x-3{)}^2-8$ $(x-3{)}^2+10$
$(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ $(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

$x^2-3x+1=(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}+1$
$=(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$…（答）

(4) $-x^2+x-2$

$-(x+1{)}^2-3$ $-(x-1{)}^2-1$
$-(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{7}{4}}$ $-(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

$-x^2+x-2=-(x^2-x)-2$
$=-\{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\}-2$
$=-(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}-2=-(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{7}{4}}$…（答）

問題の数字が文章と重なって表示されるために判読できず、解けない場合がある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは質問や意見の書き方を間違っています．その頁ではなく，他の何千頁もある教材の内のどこかの頁で，あるブラウザで見た時に文字が重なって見えるが，どの頁かどのブラウザかは明らかにできないと述べていることになります．これは，まともに対応してほしいという感想ではありません．

問題5(1)の判定が間違っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は昨日書き換えたばかりで，さっそく見てくれた人がいたとは感謝です．