指数関数，対数関数の不定積分

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■指数関数，対数関数の不定積分　（個別に置換積分，部分積分を要しない問題だけ）
≪公式≫

■指数関数の不定積分

∫wnexdx=ex+C …(1)

（e=2.71828...は自然対数の底）

∫wnekxdx=.

1knekx+C …(1’)

∫wnaxdx=.

axlogannnn+C (a>0, a≠1) …(2)

■対数関数の不定積分

∫wnlogx dx=x log x−x+C …(3)

底が省略されているとき，対数の底はe．このような自然対数を表すためにln xという記号もよく使われる． (natural logarithm)

≪公式の証明≫
(1)←
.

ddxnn(ex)=ex → ∫wnexdx=ex+C

(1’)←
.

ddxnn(ekx)=kekx→.

ddxnn(.

1knekx)=ekx

→∫wnekxdx=.

1knekx+C

(2)←
ax=exlog aだから，(1’)により

∫wnaxdx=∫wnexlogadx=.

1logannnnexloga+C=.

axlogannnn+C

(3)←
.

ddxnn(x logx−x)=logx+x .

1xn−1=log x+1−1=log x

→ ∫wnlog xdx=x log x−x+C

※通常(3)は部分積分によって証明されるが，ここでは部分積分を使わずに微分←→積分の関係だけで示した．

例

1.∫wne3xdx=.

13ne3x+C ←(1’)

2.∫wn2xdx=.

2xlog_2nnnn+C ←(2)

3.∫wnlog 3x dx=∫wn(log 3+log x)dx

=x log 3+x log x−x+C ←(3)

=x(log 3+log x)−x+C=x log 3x−x+C

指数関数，対数関数の積分の多くは置換積分，部分積分の応用問題として登場するが，この頁では置換積分や部分積分を使わなくても（まだ習っていなくても）できる簡単な問題だけを扱う．

問題次の積分を求めよ．

初めに，左欄から問題を選び，続いて右欄の選択肢から答を選びなさい．

ex+e−x2nnnnndx

(3)∫wn(2x+e2x)dx

(4) ∫wnlog 2x dx

選択肢

ex+e−x+C ex−e−x+C

.

ex+e−x2nnnnn+C .

ex−e−x2nnnnn+C

.

2xlog_2nnnn+e2x+C .

e2x2nn+C

x log 2x−x+C 2x log 2x−x+C

(x+2)log x−x+C

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