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三角関数の積分公式
(解説)(1)∫sinxdx=−cosx+C
(1’)∫sinkxdx=−
 coskxk+C
(1”)∫sin(ax+b)dx=−
(2)∫cosxdx=sinx+Ccos(ax+b)a+C
(2’)∫coskxdx=
sinkxk+C
(2”)∫cos(ax+b)dx=
(3)∫tanxdx=−log|cosx|+Csin(ax+b)a+C
(3’)∫tankxdx=−
log|coskx|k+C
(3”)∫tan(ax+b)dx=−
log|cos(ax+b)|a+C(1)←  ddx(cosx)=−sinx→ddx(−cosx)=sinx∫sinxdx=−cosx+C (1’)← 合成関数の微分法により dydx=dydududxy=cosu, u=kxとおくと dydx=−sinu×k=−sinkx×kddx(coskx)=−sinkx×kddx(− coskxk)=sinkxしたがって ∫sinkxdx=− coskxk+C同様にして, (1”) が得られる. ddx(ax+b)=aに注意 (定数項は消える).したがって, − cos(ax+b)aの分母にはbは含まれない.
ddx(sinx)=cosx∫cosxdx=sinx+C (2’)← y=sinu, u=kxとおくと dydx=cosu×k=coskx×kddx(sinkx)=coskx×kddx(sinkxk)=coskxしたがって ∫coskxdx= sinkxk+C同様にして, (2”) が得られる.
分母にはbがないことに注意.
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(4)∫
※今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが，それらの逆数cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です．1sin2xdx=−1tanx+C=−cotx+C
(4’)∫
1sin2kxdx=−1ktankx+C=−cotkxk+C
(4”)∫
(5)∫1sin2(ax+b)dx=−1atan(ax+b)+C=− cot(ax+b)a+C1cos2xdx=tanx+C
(5’)∫
1cos2kxdx=tankxk+C
(5”)∫
1cos2(ax+b)dx=tan(ax+b)a+C
【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます．自分が書く必要はなく，今まで通りに書けばよい．
自分が書くときは， などと書けば十分です． (3)← ddxlog|x|=1x
ddx(cosx)=−sinx
dydx=dydududx=1u×(−sinx)=1cosx×(−sinx)=−tanx
ddx(log|cosx|)=−tanx
ddx(−log|cosx|)=tanx
∫tanxdx=−log|cosx|+C
(3’)←y=log|s|, s=cost, t=kxとおくと dydx=dydsdsdtdtdx=1s(−sint)×k=1cost×(−sint)×kddx(log|coskx|)=−tankx×kddx(−log|coskx|k)=tankxしたがって ∫tankxdx=− log|coskx|k+C同様にして, (3”)が得られる.
分母にはbがないことに注意.
(4)←1tanx=cotx=cosxsinx
ddx( f(x)g(x))=f’(x)g(x)−f(x)g’(x)g(x)2
ddx(cotx)=−sinxsinx−cosxcosxsin2x=−1sin2x
ddx(−cotx)= 1sin2x
∫ 1sin2xdx=−cotx+C(4’)(4”) 略 (5)←
tanx=
sinxcosx
ddx( f(x)g(x))=f’(x)g(x)−f(x)g’(x)g(x)2
だから ddx(tanx)=cosxcosx−sinx(−sinx)cos2x=1cos2x
∫ 1cos2xdx=tanx+C(5’)(5”) 略 |
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例 (1’)∫sin2xdx=− cos2x2+C(1”)∫sin(2x+1)dx=− cos(2x+1)2+C(2’)∫cos2xdx= sin2x2+C(2”)∫cos(2x+1)dx= sin(2x+1)2+C |
(3’)∫tan2xdx=−log|cos2x|2+C (4’)∫ 1sin22xdx=−cot2x2+C(5’)∫ 1cos22xdx=tan2x2+C |
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次の公式を用いると三角関数の積・平方をそれらの和・差に直して積分を求めることができる.
(A)sinαcosβ=
12{sin(α+β)+sin(α−β)}(B)cosαsinβ= 12{sin(α+β)−sin(α−β)}(C)cosαcosβ= 12{cos(α+β)+cos(α−β)}(D)sinαsinβ=− 12{cos(α+β)−cos(α−β)}(E)sin2α= 1−cos2α2(F)cos2α= 1+cos2α2(G)1+tan2α= 1cos2α→tan2α=1cos2α−1→(5)(H)1+ 1tan2α=1sin2α→1tan2α=1sin2α−1→(4) |
例 (A)∫sin4xcos2xdx=∫ 12{sin6x+sin2x}dx ←(1’)= 12{−cos6x6−cos2x2}+C=−cos6x12−cos2x4+C(C)∫cos4xcos2xdx=∫ 12{cos6x+cos2x}dx ←(2’)= 12{sin6x6+sin2x2}+C=sin6x12+sin2x4+C(D)∫sin4xsin2xdx=− 12∫{cos6x−cos2x}dx ←(2’)=− 12{sin6x6−sin2x2}+C=−sin6x12+sin2x4+C(E)∫sin22xdx=∫ 1−cos4x2dx=12(x−sin4x4)+C= 12x−sin4x8+C(F)∫cos22xdx=∫ 1+cos4x2dx=12(x+sin4x4)+C= 12x+sin4x8+C(G)∫tan22xdx=∫( 1cos22x−1)dx=tan2x2−x+C
積分の方がtan2xの次数が低く見えて奇妙な感じを受けるが,これで正しい.
(H)∫1tan22xdx=∫(1sin22x−1)dx=−cot2x2−x+C |
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問題次の不定積分を求めてください. (解答は選択肢から選んでください. クリックすれば，採点結果と解説が出ます． 暗算では無理です．別途計算用紙が必要です.) x2+sin6x12+C
x2−sin6x12+Ccos3x3+C
−cos3x3+Ctan3x3+C
−cot3x3+C |
(1’)∫sinkxdx=−
coskxk+C
→∫sin3xdx=−
cos3x3+C
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x2+sin6x12+C
x2−sin6x12+Ccos3x3+C
−cos3x3+Ctan3x3+C
−cot3x3+C |
(E)sin2α=
→sin23x=1−cos2α21−cos6x2∫sin23xdx=∫( 1−cos6x2)dx ←(2’)= 12(x−sin6x6)+C=x2−sin6x12+C
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x2+sin6x12+C
x2−sin6x12+Ccos3x3+C
−cos3x3+Ctan3x3+C
−cot3x3+C |
(4”)∫
→∫1sin2kxdx=−cotkxk+C1sin23xdx=−cot3x3+C |
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x2+sin6x12+C
x2−sin6x12+Csin3x3+C
−cos3x3+Ctan3x3+C
cot3x3+C |
(2’)∫coskxdx=
→∫cos3xdx=sinkxk+Csin3x3+C |
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x2+sin6x12+C
x2−sin6x12+Csin3x3+C
−cos3x3+Ctan3x3+C
cot3x3+C |
(F)cos2α=
→cos23x=1+cos2α21+cos6x2∫cos23xdx=∫ 1+cos6x2dx ←(2’)= 12(x+sin6x6)+C=x2+sin6x12+C |
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x2+sin6x12+C
x2−sin6x12+Csin3x3+C
−cos3x3+Ctan3x3+C
cot3x3+C |
(5”)∫
→∫1cos2kxdx=tankxk+C1cos23xdx=tan3x3+C |
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tan3x3+x+C
tan3x3−x+Ccot3x3+x+C
−cot3x3−x+Clog|cos3x|3+C
−log|cos3x|3+C |
(3’)∫tankxdx=−
→∫tan3xdx=−log|coskx|k+Clog|cos3x|3+C |
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tan3x3+x+C
tan3x3−x+Ccot3x3+x+C
−cot3x3−x+Clog|sin3x|3+C
−log|cos3x|3+C |
(G)1+tan2α=
→∫tan23xdx=∫(1cos2α→tan2α=1cos2α−11cos23x−1)dx ←(5’)= tan3x3−x+C |
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tan3x3+x+C
tan3x3−x+Ccot3x3+x+C
−cot3x3−x+Clog|sin3x|3+C
−log|cos3x|3+C |
ddx(log|sin3x|)=1sin3x×cos3x×3=3tan3x
→
ddx(log|sin3x|3)=1tan3x
→∫
1tan3xdx=log|sin3x|3+C
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tan3x3+x+C
tan3x3−x+Ccot3x3+x+C
−cot3x3−x+Clog|sin3x|3+C
−log|cos3x|3+C |
(H)1+
1tan2α=1sin2α→1tan2α=1sin2α−1→∫ 1tan23xdx=∫(1sin23x−1)dx ←(4’)=− cot3x3−x+C |
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sin6x12+sin4x8+C
sin6x12−sin4x8+C − sin6x12+sin4x8+C
cos6x12+cos4x8+Ccos6x12−cos4x8+C
−cos6x12−cos4x8+C |
(D)sinαsinβ=−
12{cos(α+β)−cos(α−β)}→sin5xsinx=− 12{cos6x−cos4x}∫sin5xsinx dx=− 12∫{cos6x−cos4x}dx ←(2’)=− 12(sin6x6−sin4x4)+C=−sin6x12+sin4x8+C |
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sin6x12+sin4x8+C
sin6x12−sin4x8+C − sin6x12+sin4x8+C
cos6x12+cos4x8+Ccos6x12−cos4x8+C
−cos6x12−cos4x8+C |
(A)sinαcosβ=
12{sin(α+β)+sin(α−β)}→sin5xcosx= 12{sin6x+sin4x}∫sin5xcosx dx= 12∫{sin6x+sin4x}dx ←(1’)= 12(−cos6x6−cos4x4)+C=−cos6x12−cos4x8+C |
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sin6x12+sin4x8+C
sin6x12−sin4x8+C − sin6x12+sin4x8+C
cos6x12+cos4x8+Ccos6x12−cos4x8+C
−cos6x12−cos4x8+C |
(C)cosαcosβ=
12{cos(α+β)+cos(α−β)}→cos5xcosx= 12{cos6x+cos4x}∫cos5xcosx dx= 12∫{cos6x+cos4x}dx ←(2’)= 12(sin6x6+sin4x4)+C=sin6x12+sin4x8+C |
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